决策问题与并非是或不是的“实际”问题

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我在很多地方都读到有些问题很难近似（ NP很难近似）。但是，逼近并不是一个决定性的问题：答案是一个实数，而不是是或否。同样对于每个所需的逼近因子，有许多正确的答案和许多错误的答案，并且随着所需的逼近因子而变化！

因此，如何说这个问题是NP问题呢？

（灵感来自有向图中计算两个节点之间的简单路径的数量有多困难？）中的第二个项目符号。）

complexity-theory time-complexity np-hard approximation

— 冉G.
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Answers:

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正如您所说，尚无决策，因此需要新的复杂度类别和新的归约类型，才能为优化问题确定合适的NP硬度定义。

一种实现方法是拥有两个包含优化问题的新NPO和PO类，它们当然会模拟决策问题的NP和P类。还需要新的减少。然后，我们可以按照成功解决决策问题的方法，为优化问题重新创建NP-hardness版本。但是首先我们必须同意什么是优化问题。

定义：令 $O=(X,L,f,opt)$ 是一个优化问题。 $X$ 是适合编码为字符串的一组输入或实例。 $L$ 是每个实例映射函数 $x\in X$ 到一组串，该可行解实例的 $x$ 。这是一个集合，因为有许多优化问题的解决方案。因此，我们没有一个目标函数 $f$ 可以告诉我们每一对 $(x, y)$ $y\in L(x)$ 的实例和它的溶液的成本或值。 $opt$ 告诉我们，无论我们是最大化或最小化。

这使我们能够定义什么的最佳解决方案是：让 $y_{opt}\in L(x)$ 是最佳的解决方案的实例的 $x\in X$ 优化-问题的 $O=(X,L,f,opt)$ 与

f (x, y_{o p t}) = o p t {f (x, y^{'}) ∣ y^{'} \in L (x)} .

$f(x,y_{opt})=opt\{f(x,y')\mid y'\in L(x)\}.$ 最佳解通常用

表示

y^{*}

$y^*$ 。

现在我们可以定义类NPO：让 $NPO$ 是所有优化问题的集合， $O=(X,L,f,opt)$ 其中：

$X\in P$
有一个多项式带对所有实例和所有可行的解决方案。此外还有一个确定性的算法，在多项式时间内是否决定。 $p$ $|y|\le p(|x|)$ $x\in X$ $y\in L(x)$ $y\in L(x)$
可以用多项式时间求值。 $f$

它的直觉是：

我们可以有效地验证是否实际上是优化问题的有效实例。 $x$
的可行解的大小是在输入端的大小多项式为界，而且我们可以有效地验证如果是该实例的fesible溶液。 $y\in L(x)$ $x$
溶液的值可以有效地确定。 $y\in L(x)$

这反映了现在如何为PO定义情况：令为的所有问题的集合，这些问题可以通过多项式时间内的确定性算法解决。 $NP$ $PO$ $NPO$

现在我们能够定义我们要调用的近似算法：一种近似算法的优化，问题的是计算一个可行的解决方案的算法为一个实例。 $O=(X,L,f,opt)$ $y\in L(x)$ $x\in X$

注意：我们不要求最佳解决方案，而只是寻求可行的解决方案。

现在，我们有两种类型的错误：该绝对误差的可行解的的实例的优化-问题的是。 $y\in L(x)$ $x\in X$ $O=(X,L,f,opt)$ $|f(x,y)-f(x,y^*)|$

我们称之为近似算法的绝对误差用于优化-问题所界定如果算法为每个实例单位计算一个可行的与有界的绝对误差的解决方案。 $A$ $O$ $k$ $A$ $x\in X$ $k$

示例：根据变色定理，图的色指数（边缘着色中使用的颜色最少的颜色数）是或，其中是最大结点度。根据定理的证明，可以设计出一种近似算法，用于计算种颜色的边缘着色。因此，我们有一个关于的近似算法 $\Delta$ $\Delta+1$ $\Delta$ $\Delta+1$ 问题，绝对误差以为界。 $\mathsf{Minimum-EdgeColoring}$ $1$

这个例子是一个例外，小绝对误差是罕见的，因而我们定义相对误差 的逼近算法的在实例优化-问题的与对于所有和是 $\epsilon_A(x)$ $A$ $x$ $O=(X,L,f,opt)$ $f(x,y)>0$ $x\in X$ $y\in L(x)$

ϵ_{A} (x) := {\begin{cases} 0 & f (x, A (x)) = f (x, y^{*}) \\ \frac{| f (x, A (x)) - f (x, y^{*}) |}{max {f (x, A (x)), f (x, y^{*})}} & f (x, A (x)) \neq f (x, y^{*}) \end{cases}

$\epsilon_A(x):=\begin{cases}0&f(x,A(x))=f(x,y^*)\\\frac{|f(x,A(x))-f(x,y^*)|}{\max\{f(x,A(x)),f(x,y^*)\}}&f(x,A(x))\ne f(x,y^*)\end{cases}$

其中是由近似算法计算的可行解。 $A(x)=y\in L(x)$ $A$

现在，我们可以定义近似算法用于优化-问题是一个 -近似算法为如果相对误差为界对于每个实例，因此 $A$ $O=(X,L,f,opt)$ $\delta$ $O$ $\epsilon_A(x)$ $\delta\ge 0$ $x\in X$

ϵ_{A} (x) \leq δ \forall x \in X .

$\epsilon_A(x)\le \delta\qquad \forall x\in X.$

在相对误差定义的分母中选择，以使定义对称，以最大化和最小化。相对误差。在出现最大化问题的情况下，解的值永远不会小于并且永远不会大于用于最小化问题。 $\max\{f(x,A(x)),f(x,y^*)\}$ $\epsilon_A(x)\in[0,1]$ $(1-\epsilon_A(x))\cdot f(x,y^*)$ $1/(1-\epsilon_A(x))\cdot f(x,y^*)$

现在，如果存在一个以多项式时间运行的的近似算法，我们可以调用一个优化问题 -approximable 。 $\delta$ $\delta$ $A$ $O$

我们不想查看每个实例的错误，只查看最坏情况。因此，我们定义，则最大relativ误差的近似算法的用于优化-问题是 $x$ $\epsilon_A(n)$ $A$ $O$

ϵ_{A} (n) = sup {ϵ_{A} (x) ∣ | x | \leq n} .

$\epsilon_A(n)=\sup\{\epsilon_A(x)\mid |x|\le n\}.$

凡应该是实例的大小。 $|x|$

示例：通过将所有从匹配到顶点覆盖的入射节点相加，可以将图中的最大匹配转换为最小节点覆盖因此边缘被覆盖。由于每个包含最优顶点的顶点覆盖必须具有每个覆盖边的节点之一，否则可以对其进行改进，因此我们得到。因此，因此，用于最大匹配的贪婪算法为近似值算法。因此是。 $C$ $1/2\cdot |C|$ $1/2\cdot |C|\cdot f(x,y^*)$

\frac{| C | - f (x, y^{*})}{| C |} \leq \frac{1}{2}

$\frac{|C|-f(x,y^*)}{|C|}\le\frac{1}{2}$

1 / 2

$1/2$

M i n i m a l - V e r t e x C o v e r

$\mathsf{Minimal-VertexCover}$

M i n i m a l - V e r t e x C o v e r

$\mathsf{Minimal-VertexCover}$

1 / 2

$1/2$

不幸的是，相对误差并不总是最佳的近似质量概念，如以下示例所示：

示例：一个简单的贪心算法可以近似。分析显示，因此将是 -近似的。 $\mathsf{Minimum-SetCover}$

\frac{| C |}{| C^{*} |} \leq H_{n} \leq 1 + \ln (n)

$\frac{|C|}{|C^*|}\le H_n\le 1+\ln(n)$

M i n i m u m - S e t C o v e r

$\mathsf{Minimum-SetCover}$

\frac{\ln (n)}{1 + \ln (n)}

$\frac{\ln(n)}{1+\ln(n)}$

如果相对误差接近于则以下定义是有利的。 $1$

让是一个优化-问题对于所有和和的近似算法为。实例的可行解的近似比率为 $O=(X,L,f,opt)$ $f(x, y)>0$ $x\in X$ $y\in L(x)$ $A$ $O$ $r_A(x)$ $A(x)=y\in L(x)$ $x\in X$

r_{A} (x) = {\begin{cases} 1 & f (x, A (x)) = f (x, y^{*}) \\ max {\frac{f (x, A (x))}{f (x, y^{*})}, \frac{f (x, y^{*})}{f (x, A (x))}} & f (x, A (x)) \neq f (x, y^{*}) \end{cases}

$r_A(x)=\begin{cases}1&f(x,A(x))=f(x,y^*)\\\max\left\{ \frac{f(x,A(x))}{f(x, y^*)},\frac{f(x, y^*)}{f(x, A(x))}\right\}&f(x,A(x))\ne f(x,y^*)\end{cases}$

我们称之为一个近似算法之前一个 -近似算法的优化-问题如果近似比是由有界对于每个输入。再一次，如果对于优化问题我们有一个近似算法，那么称为近似。同样，我们只关心最坏的情况，并将最大近似比率为 $A$ $r$ $O$ $r_A(x)$ $r\ge1$ $x\in X$

r_{A} (x) \leq r

$r_A(x)\le r$

r

$r$

A

$A$

O

$O$

O

$O$ $r$

r_{A} (n)

$r_A(n)$

r_{A} (n) = sup {r_{A} (x) ∣ | x | \leq n} .

$r_A(n)=\sup\{r_A(x)\mid |x|\le n\}.$ 因此，对于次优解，近似比率大于。因此，更好的解决方案具有较小的比率。对于我们现在可以写成它是 -近似的。在情况下，我们从前面的示例知道它是近似的。在相对误差和近似比率之间，我们有简单的关系：

1

$1$

M i n i m u m - S e t C o v e r

$\mathsf{Minimum-SetCover}$

(1 + \ln (n))

$(1+\ln(n))$

M i n i m u m - V e r t e x C o v e r

$\mathsf{Minimum-VertexCover}$

2

$2$

r_{A} (x) = \frac{1}{1 - ϵ_{A} (x)} ϵ_{A} (x) = 1 - \frac{1}{r_{A} (x)} .

$r_A(x)=\frac{1}{1-\epsilon_A(x)}\qquad \epsilon_A(x)=1-\frac{1}{r_A(x)}.$

对于与最佳和的较小偏差，相对误差优于近似比率，这表明其在较大偏差和。 $\epsilon<1/2$ $r<2$ $\epsilon\ge 1/2$ $r\ge 2$

-approximable 的两个版本不重叠，因为一个版本始终为，而另一个版本始终为。的情况是没有问题的，因为只有通过产生精确解的算法才能解决此问题，因此不必将其视为近似算法。 $\alpha$ $\alpha\le 1$ $\alpha\ge 1$ $\alpha=1$

经常出现另一类APX。它被定义为一组所有优化-问题从是天堂的 -近似算法与，在多项式时间内运行。 $O$ $NPO$ $r$ $r\ge1$

我们快完成了。愿我们的成功理念复制的减少和completness从复杂性理论。可以观察到，优化问题的许多NP硬决策变量可以彼此简化，而它们的优化变量在逼近性方面具有不同的属性。这是由于在NP不完全性减少中使用的多项式时间Karp减少，它不保留目标函数。即使保留了目标函数，多项式时间-Karp归约法也可能改变解的质量。

我们需要的是简化的更强版本，它不仅将实例从优化问题映射到实例，而且还将良好解决方案映射到良好解决方案。 $O_1$ $O_2$ $O_2$ $O_1$

因此，我们从定义了两个优化问题和的近似保留约简。如果存在两个函数和以及一个常数，我们将还原为，写为： $O_1=(X_1,L_1,f_1,opt_1)$ $O_2=(X_2,L_2,f_2,opt_2)$ $NPO$ $O_1$ $AP$ $O_2$ $O_1\le_{AP} O_2$ $g$ $h$ $c$

$g(x_1, r)\in X_2$ 对于所有且有理 $x_1\in X_1$ $r>1$
$L_2(g(x, r_1))\ne\emptyset$ 如果所有且有理 $L_1(x_1)\ne\emptyset$ $x_1\in X_1$ $r>1$
$h(x_1, y_2, r)\in L_1(x_1)$ 对于所有且有理，对于所有 $x_1\in X_1$ $r>1$ $y_2\in L_2(g(x_1,r))$
对于固定的，函数和可以通过两种算法在其输入长度的多项式时间内进行计算。 $r$ $g$ $h$
我们有对所有和有理且对于所有 $f_{2} (g (x_{1}, r), y_{2}) \leq r \Rightarrow f_{1} (x_{1}, h (x_{1}, y_{2}, r)) \leq 1 + c \cdot (r - 1)$ $f_2(g(x_1,r),y_2)\le r \Rightarrow f_1(x_1,h(x_1,y_2,r))\le 1+c\cdot(r-1)$ $x_1\in X_1$ $r>1$ $y_2\in L_2(g(x_1,r))$

在这个定义中，和取决于解的质量。因此，对于不同的质量，功能可能会有所不同。不一定总是需要这种通用性，我们只需使用和。 $g$ $h$ $r$ $g(x_1)$ $h(x_1, y_2)$

现在我们有了减少优化问题的想法，我们终于可以转移我们从复杂性理论中学到的许多知识。例如，如果我们知道中的并且显示那么它也将跟随中的。 $O_2\in APX$ $O_1\le_{AP} O_2$ $O_1\in APX$

最后，我们可以定义 -hard和 -complete表示优化问题的含义： $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$

让从优化-问题和一类的优化-从问题的然后被称为 -hard相对于如果对所有成立。 $O$ $NPO$ $\mathcal{C}$ $NPO$ $O$ $\mathcal{C}$ $\le_{AP}$ $O'\in\mathcal{C}$ $O'\le_{AP} O$

因此，我们再次有了班上最困难的问题的观念。并不奇怪一个 -hard问题称为 -complete相对于如果是的元素。 $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $\le_{AP}$ $\mathcal{C}$

因此，我们现在可以讨论和等。当然，现在要求我们展示第一个问题，该问题承担的角色。可以很自然地证明是完整的。借助PCP定理，甚至可以证明是。 $NPO$ $APX$ $NPO$ $\mathsf{SAT}$ $\mathsf{Weighted-Satisfiability}$ $NPO$ $\mathsf{Maximum-3SAT}$ $APX$

— 乌里
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哦，请为这篇较长的帖子接受我的道歉，但是我没有时间写一个简短的帖子。

— 乌里2012年

1

当然，最重要的一点是，通过PCP定理，您可以将MAX3SAT和SAT链接起来，从而表明，将MAX 3SAT逼近比某个常数要难于NP。从某种意义上讲，这相当于库克-莱文定理。

— Suresh 2012年

1

@Suresh当然，但是据我所知，您提到的这个结果需要减少差距。而且，正如您已经在您的帖子中写到的那样，我不想在这里重复它们。

— 乌里

好答案，+ 1！我想知道您的答案是否基于某些参考？

— 蒂姆（Tim）

@Tim当然有书，我在另一个答案

— uli 2012年

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通常显示的是问题的“差距”版本的NP硬度。例如，假设您要显示很难将SET COVER近似为2的因数。

您定义了SET COVER的以下“ promise”实例，我们将其称为2-GAP-SET-COVER：

固定一些数字。2-GAP-SET-COVER包含所有封面的实例，其中最佳封面的大小为： $\ell$

最多 $\ell$
至少 $2\ell$

假设我们表明确定一个问题属于两种情况的问题是NP完全的。然后，我们证明了将SET COVER逼近2倍是NP-hard的，因为我们可以使用这种算法来区分这两种情况。

— 苏雷什
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现有的两个答案非常有帮助，但我认为它们中的任何一个都不能真正回答这个问题，即“当NP是一类决策问题时，哪怕不是决策问题的问题也很难解决？？

答案是记住NP-hard的含义。如果将NP中的每个问题都可以简化为那么问题在某种简化下是NP难的。（如果是NP困难的，则是NP完全的；在NP中是。）非正式地，NP困难的意思是“即使我能解决这个问题，我也能解决NP中的所有问题”，即使您正在谈论的问题是“ t在NP中。NP硬度不需要NP的成员身份，但确实需要还原的正确概念。 $L$ $L$ $L$

一些例子。

在多项式时间多一减法下，任何NEXPTIME完全问题都是NP难的。NP中的任何问题都在NEXPTIME中，因此可以定义为根据时间层次定理，不能在NP中，因此不是NP完全的。 $L$ $L$ $L$ $L$
#SAT是计算CNF公式的满意分配数量的问题。显然，它不在NP中，因为如您所见，NP是一类决策问题，而#SAT并不是其中的一个。但是，在多项式时间Turing约简下，＃SAT是NP-hard的，因为我们可以将SAT降低到它。给定一个SAT实例，我们询问有多少令人满意的作业：如果至少有一个，则说“可满足”；否则为“无法满足”。
令APPROXSAT为计算数字的问题，该数字在CNF公式的满意分配数的十倍之内。只是令人讨厌，假设您允许四舍五入，因此，如果具有三个令人满意的分配，则该算法可以考虑为“ 0.3”并将其四舍五入为零。在多项式时间Turing约简下，这是NP难的，因为我们仍然可以将SAT降低到它。给定一个CNF公式，要求满足的满意分配数，其中是新变量。只有在是的情况下，是可满足的，但是 $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$ $\varphi'=\varphi \wedge (Z_1\vee \dots \vee Z_{10})$ $Z_i$ $\varphi'$ $\varphi$ $\varphi'$ 则保证具有1,000多个令人满意的分配。因此，仅当APPROXSAT算法说具有至少100个令人满意的分配时，才是可满足的。 $\varphi$ $\varphi'$

— 大卫·里奇比
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