范畴论（子集）和关系代数之间是否存在同构？

它来自大数据角度。基本上，许多框架（如Apache Spark）通过提供类似Functor / Monad的接口来“补偿”缺乏关系操作，并且向cats到SQL的转换也有类似的趋势（Scala中的Slick）。例如，我们需要自然联接（假设索引上没有重复），以便从SQL角度对向量进行元素zip + map(multiply) 逐次乘法，这ElementwiseProduct在类别理论的应用程序中可以被视为（但Spark的MLib已经拥有）。

简单地说（以下示例在Scala中）：

• 引用的join子案例可以看作是应用函子（在有序集合上），这反过来又给我们zip：List(1,2,3).ap(List(2,4,8).map(a => (b: Int) => a * b))-> (List(1,2,3) zip List(2,4,8)).map(x => x._1 * x._2)。此外，假设进行一些预处理（groupBy算符或仅仅是外推，或者通常是一种同形），我们可以将其引入其他联接。

• 其他联接和选择可以认为是monad。例如，WHERE只是：List(1,2,2,4).flatMap(x => if (x < 3) List(x) else List.empty)->List(1,2,2,4).filter(_ < 3)

• 数据本身就是ADT（GADT也是吗？），它又看起来像一个简单的Set类别（或更笼统地说-笛卡尔封闭），因此（我想）它应该涵盖基于Set的操作（由于Curry- Howard-Lambek本身）以及类似的操作RENAME（至少在实践中如此）。

• 聚集对应于fold/reduce（变形）

所以，我要问的是，我们可以在类别理论（也许是子类别理论）和（整个）关系代数之间建立同构吗？还是有发现的东西？如果可行，类别的什么同构子集与relalgebra同构？

您会看到我自己的假设是相当广泛的，而诸如逻辑-猫-lambda的Curry-Howard-Lambek对应之类的形式化解则更为精确-因此，实际上，我要求参考已完成的研究（该研究表明了直接的关系），以及Scala / Haskell中的更多示例。

编辑：接受的答案使我认为我将连接和条件表示为monad太过分了（尤其是使用有效实例化FALSE的空值），我认为回调至少应足以满足SQL的relegebra子集。Monad更适合诸如GROUP BY的高阶（嵌套）内容，这不是relalgebra的一部分。

让我用一些专业术语来明确表达Curry-Howard-Lambek的对应关系。Lambek表明，带乘积的简单Lambda演算是笛卡尔封闭类别的内部语言。我不会说出笛卡尔封闭类别是什么，尽管这并不难，但是上面的声明说的是您不需要知道！（或者，您已经知道，如果您知道简单乘积的lambda演算是什么。）对于某种类型理论/逻辑来说，类别的内部语言/逻辑意味着1）我们可以将语言解释为结构以保留语言结构（实际上是健全性条件）的方式来分类，并且2）和“基本上”，笛卡尔封闭引起的所有结构都可以用这种语言（完整性条件）来讨论。

$\{ x\mid x = x\}$。每个关系代数表达式在逻辑上都等同于关系演算中与域无关的查询。

把该一边，其类别内部逻辑（其本质上是一个decategorified或内部语言证明无关的形式）了Heyting类别为直觉FOL和布尔类别古典FOL。（该categorified /证明相关的版本被描述hyperdoctrines。也非常相关的是pretoposes各种不爽。）注意，即FOL，关系运算和关系代数就不能支持聚合。（它们也不支持表示Datalog查询所必需的递归。）一种方法GROUP BY聚合是为了允许关系值列导致高阶逻辑（HOL）和嵌套关系演算（NRC）。一旦有了关系值列，聚合就可以被形式化为另一个“标量”运算符。

您的示例指出了一个事实，即一元元语言是一种不错的查询语言。论文《Monad理解：多功能的查询表示法》（PDF）很好地说明了这一点。Ryan Wisnesky的博士学位论文是一种更全面，更现代的外观，它是一种具有分类类型的功能查询语言（PDF），它与David Spivak的作品有关，该作品本身似乎与您对问题的任何解释都非常相关。（如果您想了解更多历史信息，可以使用功能查询系统Kleisli。）实际上，单子元语言是一种用于嵌套查询的体面语言。关系演算。Wisnesky用基本主题的形式来表达NRC，该主题的内部语言是Mitchell-Bénabou语言，基本上看起来像是带有限定词的直觉集合论。出于Wisnesky的目的，他使用了一个布尔型topos，它将具有经典的逻辑。这种语言比（核心）SQL或数据日志强大得多。值得注意的是，有限集的类别形成一个（Boolean）topos。