Trig函数在经济学中的应用？

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三角函数（即，，）在经济学中是否有任何应用？ $\sin(x)$ $\cos(x)$ $\tan(x)$

mathematical-economics

— 约翰·
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你为什么在乎？

— Michael Greinecker

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@MichaelGreinecker一般感兴趣。

— EconJohn

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相关stats.stackexchange.com/questions/312883/...

— EconJohn

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三角函数的主要特性是它们的周期性。然后，人们会认为它们在时间序列分析中是理想的，以模拟“围绕趋势的波动”。我相信，在这种情况下实际上并未使用它们的原因是

1）它们是确定性函数，因此不允许波动是随机的

2）如果研究人员想要创建一个围绕趋势产生上下波动（振荡）的模型，则他希望从模型的行为和其他假设中获得该属性。如果他要使用触发函数，则需要先将期望的理论结果强加给模型。

取而代之的是，人们选择了微分方程。如果某些特征根是复数，则在那里获得振荡（阻尼或不阻尼），然后出现三角函数，但作为替代表示，而不是引导块。

— 阿莱科斯·帕帕多普洛斯
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我不确定我是否会同意你的看法。时间序列中有一个称为频谱分析的区域，主要使用三角函数，傅立叶变换等。您了解到，您可以分解具有不相关随机系数的正弦分量总和中的固定时间序列。

— 一位老人在海里。

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@Anoldmaninthesea。当然，您指出的也很好（我建议从中做出回答）。但是频谱分析主要用于理论预测目的，而不是用于结构经济建模。

— Alecos Papadopoulos

Alecos，不幸的是，我需要详细研究它才能提供一个好的答案。也许在周末。：D

— 一位老人在海中。

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只是说我读了这个主题，它涉及到随机积分（分解为一系列正弦波分量），这是我一无所知的。其余的阅读只是说明光谱分析是等效的。到通常的时域分析，但没有涉及太多细节。我添加此评论是为了让您知道我没有忘记并尝试过，但是我只是不够了解。;）

— 一位老人在海中。

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@Anoldmaninthesea。试试Granger和Newbold的“预测经济时间序列”（第2版）的第2章。Is是一本旧书，但充满智慧，现实主义和论述力（而不仅仅是光谱分析）。

— Alecos Papadopoulos

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三角函数的自然应用是在空间数据分析中。一个例子就是位置理论中的韦伯（Weber）问题 -找到可以最大程度地减少前往目的地的运输总成本的要点。解决问题的方法不止一种，但是Tellier的解决方案使用三角函数。 $n$

— 亚当·贝利
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我知道在金融和计量经济学中使用的傅立叶级数。

金融学中的傅立叶变换方法

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忽略跨时预算约束，兼并破产的股本证券在双向拍卖交易的收益分配是

Pr ({\tilde{r}}_{t}) = {[\frac{π}{2} + \tan^{- 1} (\frac{μ}{γ})]}^{- 1} \frac{γ}{γ^{2} + ({\tilde{r}}_{t} - μ)^{2}} .

$\Pr(\tilde{r}_t)=\left[\frac{\pi}{2}+\tan^{-1}\left(\frac{\mu}{\gamma}\right)\right]^{-1}\frac{\gamma}{\gamma^2+(\tilde{r}_t-\mu)^2}.$

为此，请参见：哈里斯，德国（2017）收益分配。数学金融学报，7，769-804。

对于计算为对数差异的收益，收益为：

Pr (l o g (r_{t})) = \frac{1}{2 σ} sech (\frac{π ({\tilde{r}}_{t} - μ)}{2 σ})

$\Pr(log(r_t))=\frac{1}{2\sigma}\text{sech}\left(\frac{\pi(\tilde{r}_t-\mu)}{2\sigma}\right)$

— 戴夫·哈里斯（Dave Harris）
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关于触发函数（以及反向触发函数）如何在金融或经济方面的应用的具体示例，这是Ruey S. Tsay撰写的“金融时间序列分析”中的一个示例。考虑AR（2）模型：

{[R}_{Ť} = ϕ_{0} + ϕ_{1个} {[R}_{Ť - 1个} + ϕ_{2} {[R}_{Ť - 2} + {一种}_{Ť}

$r_t = \phi_0 + \phi_1 r_{t-1} + \phi_2 r_{t-2} +a_t$

其自相关函数（ACF）满足差分方程，其中，是背移位运算符，即个 $\rho_\ell = \operatorname{Corr}(r_t, r_{t-\ell})$ $(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2) \rho _ \ell = 0$ $B$ $B \rho_\ell = \rho_{\ell-1}$ $B^2 \rho_\ell = \rho_{\ell-2}$ 。（有些人更喜欢为延迟运算符写） $L$

二阶特征方程已特征根和给出： $1 - \phi_1 \omega - \phi_2 \omega^2 = 0$ $\omega_1$ $\omega_2$

ω = \frac{ϕ_{1个} \pm \sqrt{ϕ_{1个}^{2} + 4 ϕ_{2}}}{- 2 ϕ_{2}}

$\omega = \frac{\phi_1 \pm \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{-2\phi_2}$

$\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$ $\omega_1$ $\omega_2$

在商业和经济应用中，复杂的特征根源很重要。它们引起商业周期的行为。因此，经济时间序列模型通常具有复数值特征根。对于具有一对复杂特征根的AR（2）模型...，随机周期的平均长度为

$ķ = \frac{2 π}{\cos^{- 1个} [ϕ_{1个} / （ 2 \sqrt{- ϕ_{2}} ）]}$ $k = \frac{2 \pi}{\cos^{-1}[\phi_1 / (2\sqrt{-\phi_2})]}$
$a \pm bi$ $i=\sqrt{-1}$ $\phi_1 = 2a$ $\phi_2 = -(a^2 + b^2)$

$ķ = \frac{2 π}{\cos^{- 1个} （一种 / \sqrt{{一种}^{2} + b^{2}} ）}$ $k = \frac{2 \pi}{\cos^{-1}(a / \sqrt{a^2+b^2})}$

$k$

— 蠹虫
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k

$k$