微小的行列式是否暗含矩阵的病态？

如果我有一个平方的可逆矩阵，并且采用它的行列式，并且发现，这是否意味着该矩阵的条件差？ $\det(A) \approx 0$

反过来也正确吗？病态矩阵的行列式几乎为零吗？

这是我在Octave中尝试过的方法：

a = rand(4,4);
det(a) %0.008
cond(a)%125
a(:,4) = 1*a(:,1) + 2*a(:,2) = 0.000000001*ones(4,1);
det(a)%1.8E-11
cond(a)%3.46E10

linear-algebra condition-number

— 询问
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行列式显示矩阵是规则的还是奇异的。它不会显示它是否状况良好。

— 艾伦·恩格西格·卡鲁普

行列式的大小不能反映疾病：

κ (A) = κ (A^{- 1})

$\kappa(A)=\kappa(A^{-1})$ 但

det (A^{- 1}) = (det A)^{- 1}

$\det (A^{-1})=(\det A)^{-1}$ 。

— faleichik '02

某个地方应该有一个

\approx

$\approx$ 或

\neq

$\ne$ 吗？

— Inquest 2012年

如果您想了解有关浮点数学对矩阵谱的影响的更多信息，则应查阅Nick Trefethen的书：“ Spectra and Pseudospectra：非正规矩阵和算子的行为以及Pseudospectra Gateway”。

— 阿隆·艾玛迪亚

Answers:

这是的广大条件数 $\kappa(\mathbf A)$ 该措施的亲近奇异，行列式的不是极小值。

例如，对角矩阵 $10^{-50} \mathbf I$ 具有微小的行列式，但条件良好。

另一方面，考虑亚历山大·奥斯特罗夫斯基（Alexander Ostrowski）所做的以下正方形上三角矩阵族（并且由吉姆·威尔金森研究过）：

U = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & 2 \\ 1 & ⋱ & ⋮ \\ ⋱ & 2 \\ 1 \end{matrix})

$\mathbf U=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&2\\&1&\ddots&\vdots\\&&\ddots&2\\&&&1\end{pmatrix}$

所述的行列式矩阵总是，但最大到最小奇异值的比（即，2-范数条件数 Ostrowski表示等于，可以看出它随着增加而增加。 $n\times n$ $\mathbf U$ $1$ $\kappa_2(\mathbf U)=\dfrac{\sigma_1}{\sigma_n}$ $\cot^2\dfrac{\pi}{4n}$ $n$

— JM
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@Nunoxic：最肯定不是；在开始详细介绍之前，您已经熟悉奇异值分解吗？

— 2012年

很好。这就是您所需要知道的。这个想法是关于条件的非常重要的信息集中在。特别是，您将要在该矩阵的对角线中查找最大值和最小值（请记住，分解定义为的对角线项为非负数）。最大对角线条目与最小对角线条目的比率为条件编号。您应该关注的条件编号大小取决于您正在使用的机器...

Σ

$\mathbf \Sigma$

Σ

$\mathbf \Sigma$

κ

$\kappa$

— JM

......但总的来说，与矩阵求解线性方程组时，你眼睁睁地失去碱基在解决方案中的数字。条件编号是一个粗略的经验法则。因此，如果您只使用16位数字，则为应该引起关注。

\approx \log_{b} κ

$\approx \log_b \kappa$

b

$b$

κ

$\kappa$

10^{1} 3

$10^13$

— JM

是的，但是这不是确定条件编号的推荐方法（有关其他问题的解释）。我想你知道如何对角矩阵求逆，不是吗？

— 2012年

“ Regd。数字丢失，您能给我个参考吗？” -可以，但这确实是您应该在计算环境中自己进行增强的实验之一。

— 2012年

由于，行列式可以通过简单的重新缩放（不改变条件数）而任意增大或减小。尤其是在高维度中，即使缩放比例达到2的天真，也会极大地改变行列式。 $\det(kA)=k^n\det A$

因此，切勿使用行列式来评估条件或接近奇点。

另一方面，从使问题不适定所需的最小相对扰动的意义上说，对于几乎所有正定的数值问题，条件与到奇点的距离都密切相关。对于线性系统尤其如此。

— 阿诺德·纽迈耶
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