快速/高效的方法来分解可分离的整数2D滤波器系数

我希望能够快速确定给定的整数系数2D内核是否可分为两个具有整数系数的1D内核。例如

 2   3   2
 4   6   4
 2   3   2

可分为

 2   3   2

和

 1
 2
 1

使用整数算术对可分离性的实际测试似乎相当简单，但是事实证明，分解为具有整数系数的一维滤波器比较困难。困难似乎在于以下事实：行或列之间的比率可能是非整数（比率分数），例如，在上述示例中，比率为2、1 / 2、3 / 2和2/3。

我真的不想使用像SVD这样的繁重方法，因为（a）满足我的需求在计算上相对昂贵，并且（b）仍然不一定有助于确定整数系数。

有任何想法吗 ？

更多信息

系数可以为正，负或零，并且可能存在一些病理情况，其中一维向量或两个一维向量之和为零。

-1   2  -1
 0   0   0
 1  -2   1

可分为

 1  -2   1

和

-1
 0
 1

我已经@Phonon回答了，并对其进行了一些修改，以使它仅在顶部和左侧使用GCD方法，而不是在行/列总和上使用GCD方法。这似乎可以更好地处理病理病例。如果顶行或左列全为零，则仍然可能失败，但是可以在应用此方法之前检查这些情况。

function [X, Y, valid] = separate(M)    % separate 2D kernel M into X and Y vectors 
  X = M(1, :);                          % init X = top row of M
  Y = M(:, 1);                          % init Y = left column of M
  nx = numel(X);                        % nx = no of columns in M
  ny = numel(Y);                        % ny = no of rows in M
  gx = X(1);                            % gx = GCD of top row
  for i = 2:nx
    gx = gcd(gx, X(i));
  end
  gy = Y(1);                            % gy = GCD of left column
  for i = 2:ny
    gy = gcd(gy, Y(i));
  end
  X = X / gx;                           % scale X by GCD of X
  Y = Y / gy;                           % scale Y by GCD of Y
  scale = M(1, 1) / (X(1) * Y(1));      % calculate scale factor
  X = X * scale;                        % apply scale factor to X
  valid = all(all((M == Y * X)));       % result valid if we get back our original M
end

非常感谢@Phonon并@Jason R为此提供了最初的想法。

得到它了！发布MATLAB代码，将在今晚或明天发布说明

% Two original arrays
N = 3;
range = 800;
a = round( range*(rand(N,1)-0.5) )
b = round( range*(rand(1,N)-0.5) )

% Create a matrix;
M = a*b;
N = size(M,1);

% Sanity check
disp([num2str(rank(M)) ' <- this should be 1!']);

% Sum across rows and columns
Sa = M * ones(N,1);
Sb = ones(1,N) * M;

% Get rid of zeros
SSa = Sa( Sa~=0 );
SSb = Sb( Sb~=0 );

if isempty(SSa) | isempty(SSb)
    break;
end

% Sizes of array without zeros
Na = numel(SSa);
Nb = numel(SSb);

% Find Greatest Common Divisor of Sa and Sb.
Ga = SSa(1);
Gb = SSb(1);

for l=2:Na
    Ga = gcd(Ga,SSa(l));
end

for l=2:Nb
    Gb = gcd(Gb,SSb(l));
end

%Divide by the greatest common divisor
Sa = Sa / Ga;
Sb = Sb / Gb;

%Scale one of the vectors
MM = Sa * Sb;
Sa = Sa * (MM(1) / M(1));

disp('Two arrays found:')
Sa
Sb
disp('Sa * Sb = ');
Sa*Sb
disp('Original = ');
M

也许我正在解决这个问题，但是看来您可以：

• $N$$M$$\mathbf{A}$$\mathbf{a_i}$$i = 0, 1, \ldots , N-1$

• $j > 0$

  • $\mathbf{a_j}$$\mathbf{a_0}$$j$$\mathbf{r_j}$
  • $\mathbf{r_j}$
  • $\mathbf{r_j}$$\mathbf{a_j}$$\mathbf{a_0}$$j$$0$$\mathbf{x}$
  • $\mathbf{a_j}$$\mathbf{a_0}$

• $\mathbf{x}$

• $\mathbf{x_{norm}}$ $$\mathbf{x_{scaled}} = K\mathbf{x_{norm}}, K = 1, 2, \ldots, M$$ $K$$M$

这不是最优雅的方法，可能有更好的方法，但是它应该可以工作，实现起来非常简单，并且对于中等大小的矩阵应该相对较快。

$x \otimes y \otimes z$$A$$|A - x \otimes y \otimes z|$
$x\ y\ z$
$y$$z$$x$$x\ y\ z\ x\ y\ z\ ...$ 反过来。

（摘自 math.stackexchange上的一个可分解卷积的近似卷积。）