了解匹配的过滤器

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我有一个关于匹配过滤的问题。匹配滤波器仅在决策时才使SNR最大化吗？据我了解，如果您将NRZ通过匹配滤波器放置，则SNR将仅在决策点处最大化，这就是匹配滤波器的优势。它会在输出函数的其他位置还是在决策点最大化SNR？

根据维基百科

匹配滤波器是用于在存在附加随机噪声的情况下最大化信噪比（SNR）的最佳线性滤波器

对我而言，这意味着它可以在任何地方使它最大化，但是我不知道这是怎么可能的。我已经看过我的通信工程教科书中的数学，并且据我所知，这只是决策点。

我的另一个问题是，为什么不做一个过滤器，使决策点真的很瘦。那不是会使SNR更好吗？

谢谢。

编辑：我想我也在想什么，比如说您有一些NRZ数据，并且使用了匹配的过滤器，则可以通过I＆D（集成和转储）实现匹配的过滤器。I＆D基本上会逐渐增加，直到达到采样时间为止，其想法是在I＆D的峰值处进行一次采样，因为在那一点上，SNR最大。我不明白的是，为什么不创建一个对其进行两次积分的滤波器，那样，您将获得平方增加（而不是斜坡），并且采样点会更高从我的判断中，更有可能由决策电路正确解释（并给出较低的Pe（错误概率））？

filters digital-communications matched-filter

— 用户名
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1

阅读此答案，尤其是最后一句话中的链接。您的双重积分可有效地计算出不匹配滤波器的输出（在所需的采样时间），因此如果噪声是加性高斯，则不能给出比匹配滤波器小的

。如果噪声是加性高斯噪声，则线性或非线性滤波器都不会比匹配滤波器具有更小的错误概率。

P_{e}

$P_e$

— Dilip Sarwate

50

由于此问题在编辑中有多个子问题，对答案的评论等，而这些子问题尚未解决，因此请继续。

匹配的过滤器

考虑一个有限能量信号，它是具有脉冲响应，传递函数的（线性时不变BIBO稳定）滤波器的输入，并产生输出信号 $s(t)$ $h(t)$ $H(f)$ 哪种选择将在给定的时间产生最大响应？也就是说，我们正在寻找一个滤波器，以使的全局最大值出现在。这确实是一个措辞很松散（且实际上无法回答）的问题，因为显然具有脉冲响应的滤波器将比具有脉冲响应的滤波器具有更大的响应。

\begin{matrix} (1) & y (τ) = \int_{- \infty}^{\infty} s (τ - t) h (t) d t . \end{matrix}

$y(\tau) = \int_{-\infty}^\infty s(\tau-t)h(t)\,\mathrm dt.\tag{1}$

h (t)

$h(t)$

t_{0}

$t_0$

y (τ)

$y(\tau)$

t_{0}

$t_0$

2 h (t)

$2h(t)$

h (t)

$h(t)$ ，因此没有诸如滤波器之类的东西可以使响应最大化。因此，而不是比较苹果和橘子，让我们有约束我们寻求最大化过滤器

受冲击响应具有固定的能量，例如，受

y (t_{0})

$y(t_0)$

\begin{matrix} (2) & \int_{- \infty}^{\infty} | h (t) |^{2} d t = E = \int_{- \infty}^{\infty} | s (t) |^{2} d t . \end{matrix}

$\int_{-\infty}^\infty |h(t)|^2\,\mathrm dt = \mathbb E = \int_{-\infty}^\infty |s(t)|^2 \,\mathrm dt.\tag{2}$

从这里开始，“滤波器”是指线性时不变滤波器，其脉冲响应满足（2）。

Cauchy-Schwarz不等式为这个问题提供了答案。我们有平等发生如果与，其中由式（2），我们得到的是，即，与脉冲响应滤波器在指定时间产生最大响应

y (t_{0}) = \int_{- \infty}^{\infty} s (t_{0} - t) h (t) d t \leq \sqrt{\int_{- \infty}^{\infty} | s (t_{0} - t) |^{2} d t} \sqrt{\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) |^{2} d t} = E

$y(t_0) = \int_{-\infty}^\infty s(t_0-t)h(t)\,\mathrm dt \leq \sqrt{\int_{-\infty}^\infty |s(t_0-t)|^2 \,\mathrm dt} \sqrt{\int_{-\infty}^\infty |h(t)|^2\,\mathrm dt} = \mathbb E$

h (t) = λ s (t_{0} - t)

$h(t) = \lambda s(t_0-t)$

λ > 0

$\lambda > 0$

λ = 1

$\lambda = 1$

h (t) = s (t_{0} - t)

$h(t) = s(t_0-t)$

y (t_{0}) = E

$y(t_0) = \mathbb E$

t_{0}

$t_0$ 。在上述（非随机）意义上，该过滤器被称为

匹配到滤波器在时间或匹配滤波器在时间 $s(t)$ $t_0$ $s(t)$ $t_0.$

关于此结果，有几点值得注意。

匹配滤波器的输出在具有 唯一的全局最大值；对于任何其他，我们有。 $\mathbb E$ $t_0$ $t$ $y(t) < y(t_0) = \mathbb E$
匹配滤波器在时间的脉冲响应只是 “在时间上反转”并向右移动了。 $s(t_0-t) = s(-(t-t_0))$ $t_0$ $s(t)$ $t_0$

一种。如果具有有限支持，例如，则如果，则匹配滤波器是无 因果的。 $s(t)$ $[0,T]$ $t_0 < T$

b。在时间时与匹配的滤波器只是在时间时匹配的滤波器，附加延迟为。出于这个原因，有些人把与脉冲响应滤波器，（即，匹配于滤波器在）的对匹配滤波器 $s(t)$ $t_1 > t_0$ $t_0$ $t_1-t_0$ $s(-t)$ $s(t)$ $t=0$ $s(t)$ 理解准确的比赛时间可以在需要时并入讨论中。如果对于，则该匹配滤波器是非因果。这样，我们可以将1.重新表述为 $s(t) = 0$ $t < 0$
所述用于匹配滤波器产生一个唯一的全局最大值在时间。此外， $s(t)$ $y(0) = \mathbb E$ $t=0$ 是自相关函数的信号的。这是公知的，当然，前提是是偶函数与原点的独特峰。注意，在时间匹配的滤波器的输出仅为，自相关函数在时间延迟到峰值。
$y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} s (t - τ) s (- τ) d τ = \int_{- \infty}^{\infty} s (τ - t) s (τ) d τ = R_{s} (t)$ $y(t) = \int_{-\infty}^\infty s(t-\tau)s(-\tau)\,\mathrm d\tau = \int_{-\infty}^\infty s(\tau-t)s(\tau)\,\mathrm d\tau = R_s(t)$ $s(t)$ $R_s(t)$ $t$ $t_0$ $R_s(t-t_0)$ $t_0$
没有对时间上比匹配滤波器其他滤波器可以产生输出一样大在。但是，对于任何，都有可能找到在输出超过滤波器。注意，。 $t_0$ $\mathbb E$ $t_0$ $t_0$ $R_s(t_0)$ $t_0$ $R_s(t_0) < \mathbb E$
的传递函数的所述匹配滤波器是，的频谱的复数共轭。因此，。认为结果如下。因为对于并且 $H(f)=S^*(f)$ $S(f)$ $Y(f) = \mathfrak F[y(t)]= |S(f)|^2$ $x^2 > x$ $x > 1$ 为，匹配滤波器具有在那些频率，其中低增益在那些频率，其中小，和高增益是大的。因此，匹配滤波器减少了的弱频谱分量并增强了强频谱分量。（它也在进行相位补偿，以调整所有“正弦波”，使它们都在达到峰值）。 $x^2< x$ $0 < x < 1$ $S(f)$ $S(f)$ $S(f)$ $t=0$

-------

但是，噪声和SNR以及OP要求的是什么呢？

如果信号加上两侧功率谱密度加性高斯白噪声 $s(t)$ 通过具有脉冲响应的滤波器处理图信号，然后输出噪声过程是具有自相关函数的零均值平稳高斯过程。 $\frac{N_0}{2}$ $h(t)$ 。因此，该方差是 $\frac{N_0}{2}R_s(t)$ 重要的是要注意，无论何时对滤波器输出进行采样，方差都是相同的。那么，什么选择将在时间最大化SNR呢？从Cauchy-Schwarz不等式中，我们得到

σ^{2} = \frac{N_{0}}{2} R_{s} (0) = \frac{N_{0}}{2} \int_{- \infty}^{\infty} | h (t) |^{2} d t .

$\sigma^2 = \frac{N_0}{2} R_s(0) = \frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|^2\,\mathrm dt.$

h (t)

$h(t)$

y (t_{0}) / σ

$y(t_0)/\sigma$

t_{0}

$t_0$

恰好在

时具有相等的

，在时间

时与

匹配的滤波器！需要注意的是

。如果我们将此匹配滤波器用于所需的采样时间，则在其他时间

，SNR将为

SNR = \frac{y (t_{0})}{σ} = \frac{\int_{- \infty}^{\infty} s (t_{0} - t) h (t) d t}{\sqrt{\frac{N_{0}}{2} \int_{- \infty}^{\infty} | h (t) |^{2} d t}} \leq \frac{\sqrt{\int_{- \infty}^{\infty} | s (t_{0} - t) |^{2} d t} \sqrt{\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) |^{2} d t}}{\sqrt{\frac{N_{0}}{2} \int_{- \infty}^{\infty} | h (t) |^{2} d t}} = \sqrt{\frac{2 E}{N_{0}}}

$\text{SNR} = \frac{y(t_0)}{\sigma} = \frac{\int_{-\infty}^\infty s(t_0-t)h(t)\,\mathrm dt}{\sqrt{\frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^\infty |h(t)|^2\,\mathrm dt}} \leq \frac{\sqrt{\int_{-\infty}^\infty |s(t_0-t)|^2 \,\mathrm dt} \sqrt{\int_{-\infty}^\infty |h(t)|^2\,\mathrm dt}}{\sqrt{\frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^\infty |h(t)|^2\,\mathrm dt}} = \sqrt{\frac{2\mathbb E}{N_0}}$

h (t) = s (t_{0} - t)

$h(t) = s(t_0-t)$

s (t)

$s(t)$

t_{0}

$t_0$

σ^{2} = E N_{0} / 2

$\sigma^2 = \mathbb EN_0/2$

t_{1}

$t_1$

。在时间

处，另一个滤波器能否提供更大的SNR？当然，因为

是对于所考虑的所有过滤器是相同的，和我们上面，它指出是可能有一个信号输出大于

在时间

通过使用不同的非匹配滤波器的。

y (t_{1}) / σ < y (t_{0}) / σ = \sqrt{\frac{2 E}{N_{0}}}

$y(t_1)/\sigma < y(t_0)/\sigma = \sqrt{\frac{2\mathbb E}{N_0}}$

t_{1}

$t_1$

σ

$\sigma$

y (t_{1})

$y(t_1)$

t_{1}

$t_1$

简而言之，

$t_0$ $t_1$ $\sqrt{\frac{2\mathbb E}{N_0}}$ $t_0$ $t_1$ $t_0$
“为什么不做一个在决定时会产生非常高的尖峰尖峰的滤波器。这会使SNR更好吗？”
匹配的滤波器在采样时确实会产生各种各样的尖峰信号，但受到自相关函数形状的限制。您可以设计产生高瘦（时域）尖峰的任何其他滤波器都不是匹配的滤波器，因此不会给您最大的SNR。请注意，增加滤波器脉冲响应的幅度（或使用时变滤波器来提高采样时的增益）不会改变SNR，因为信号和噪声标准偏差都会成比例地增加。
“在达到采样时间之前，I＆D基本上将逐渐增加，其想法是在I＆D的峰值处进行一次采样，因为在那一点上，SNR最大。”
对于NRZ数据和矩形脉冲，匹配的滤波器脉冲响应也是矩形脉冲。积分转储电路是一个相关器， 其输出仅在采样时刻才等于匹配滤波器的输出，而在中间不等于。参见下图。

在此处输入图片说明

如果在其他时间对相关器输出进行采样，则会得到具有较小方差的噪声，但由于噪声变量之间的相关性很高，并且净方差很大，因此您不能简单地将在不同时间采集的I＆D输出采样相加。更大。您也不应期望能够从匹配的滤波器输出中提取多个样本，并以任何方式将它们组合以获得更好的SNR。没用实际上，您使用的是一个不同的滤波器，在高斯噪声方面，您做得比（线性）匹配滤波器更好。没有非线性处理会提供比匹配的拟合器小的错误概率。

— 迪利普·萨瓦特（Dilip Sarwate）
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2

好答案。数字通信理论课程的很大一部分被整合到一个程序包中。

— 杰森·R

y (t) = r (t) * r (- t)

$y(t) = r(t) * r(-t)$

y (t)

$y(t)$

r (t)

$r(t)$ 框函数足够高，可以传递逻辑1和0状态，那么我得到的输出-唯一的是，相关信号和相关信号之间永远不会有100％的匹配，也许就是可以预料的。

— user968243 2013年

p (t)

$p(t)$

0

$0$

T

$T$

r (t) = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{b_{n}} p (t - n T)

$r(t)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^{b_n}p(t-nT)$

h (t) = p (- t)

$h(t)=p(-t)$

(r ⋆ h) (t) = \int_{- \infty}^{\infty} r (u) h (t - u) d u = \int_{- \infty}^{\infty} r (u) p (u - t) d u = \int_{t - T}^{t} r (u) d u,

$(r\star h)(t)=\int_{-\infty}^\infty r(u)h(t-u)\,du=\int_{-\infty}^\infty r(u)p(u-t)\,du=\int_{t-T}^t r(u)\,du,$

t

$t$

T

$T$

（续）这是ISI的另一个原因，为什么您要从匹配的滤波器输出中获取多个样本然后以某种方式处理它们以提高SNR的想法将无法如您所想的那样起作用。

— Dilip Sarwate 2013年

好的谢谢！但是，在我看来，匹配的滤波器确实是一个相关器...只是图2中的相关器实际上是作为一个积分器实现的，需要重新启动每个T的积分才能看起来像T 的相关器。对我来说，匹配滤波器比相关器更像一个相关器（我知道听起来很奇怪）。

— user968243 2013年

5

没错：匹配的滤波器将在决策瞬间最大化SNR。

请注意，您建议的高峰值“过滤器”不是过滤器，而是实际上是采样器（在决策点使用的采样器）。

匹配滤波器是应用于连续输入信号的滤波器（即线性时不变系统）。“决策时的峰值”非常依赖时间（它不是过滤器，而是采样器）。

— 胡安乔
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我已对问题添加了修改。我尝试将其发布在此处的评论中，但时间太长，不允许使用。感谢您的回答。

— user968243

3

在存在加性高斯白噪声的情况下，匹配滤波器是最大似然接收器。因此，对于相等的先验符号概率，它将产生最佳的误码性能。正如您所指出的，这在AWGN通道上等效于最大化信噪比。您还正确地指出，此最大SNR条件是在每个符号的决策瞬间。

您的建议中有一个误解，就是您不能比AWGN频道上的匹配过滤器方法做得更好。除决策点以外的其他时刻的滤波器输出与误码性能无关。实际上，如果匹配滤波器的输出（即信号脉冲形状的自相关形状）具有类似脉冲的形状，则可以获得符号定时同步。实际上，某些实际的通信技术（例如直接序列扩频调制）具有此属性。

但是，假设是完美的同步（这是分析误码率时的典型情况），则所获得的性能与匹配滤波器输出的形状无关。重要的是脉冲中的总能量，它决定了决策点上匹配滤波器的输出值。

此外，很难设计出具有所需特定时域响应的其他滤波器。这样的过程称为反卷积，这并不容易。您建议的双过滤器方法实际上会产生相反的效果，即进一步抹去决策统计信息（卷积本质上会及时抹除信号）。您也许可以设计出一些非线性滤波器，使您更喜欢自己的形状，但是尚不清楚它是否会保留匹配滤波器方法的最优性。

— 杰森·R
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好的，谢谢您的答复。您说匹配滤波器的输出不在决策点，这没有区别，并且是无关紧要的。我已经弄清楚了，并且想知道为什么不能制造出更好的过滤器，例如，一个过滤器会抓住那些部分中包含的能量，并在决策时将其包括在内。不知道这是否有意义！希望能做到！我的猜测是无法做到这一点，因为那样的话滤波器将不是线性的……

— user968243 2013年

2

我从理论上不能回答您的问题，但是我可以实际回答-您可以使用匹配的过滤器模拟器（http://www.grauonline.de/alexwww/ardumower/filter/filter.html）看到它。

— 亚历山大·格劳
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2

上面所有的答案很好地描述了匹配滤波器是如何最佳的，但是没有讨论为什么其他样本对决策没有用。关于这些非最佳样本的有趣观点来自于频域视图。

请记住，时域互相关是频域中的共轭乘法。当在最佳时刻采样时，所有频率仓的相位将对齐，以使结果的I分支中的能量最大化，并且没有Q臂。当在另一个瞬间采样时，由于该时移差异而引入了相位旋转，该时移差异对于每个频率仓而言都是不同的。参见下图。

而且，已经通过匹配滤波器的噪声样本变得相关。仅当匹配的滤波器输出过零（即最佳采样时刻）时，此相关才为零。

有关解调的文章中对此进行了更详细的说明。

— 卡西姆·乔杜里（Qasim Chaudhari）
source

1

有时候，像您说的那样，在中间设置一个带有细小尖峰的滤波器会更有用。一种这样的过滤器称为MACE过滤器。这是原始纸

Mahalanobis，A.，Kumar，BVKV，Casasent，D .：最小平均相关能量滤波器。应用选择。26，3630–3633（1987）

— 亚伦
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