我怎么从数学上而不是从观察上知道月球是否充满？

我知道描述卫星绕行星运行的方程式。我知道月球的半长轴和偏心率，对于它与绕星运行的宿主世界也一样。

有什么方程可以告诉我，从星球上看，夜晚有多少月亮被照亮了，有多少亮度呢？

月亮的相位可以通过太阳，月亮和地球之间的相位角来定义。例如，在0°时，月球定义为满月；在180°时，月球定义为新月。如果您想知道月球在给定角度下的亮度，可以使用相角来找到月球的视在和绝对大小。

当涉及照明对象（不产生自己的可见光的对象）时，绝对量级仅表示从1 AU处观察到的视在量级。这意味着它几乎完全取决于物体的相位角。现在，您正在询问月球对地球上的人会看起来有多亮，因此我们将找到它的明显大小。如果我们知道被照物体的绝对量，则找到被照物体的视在量（在太阳系中）的公式为：$H$

$$m = H + 2.5 \log_{10}{\left(\frac{d_{BS}^2 d_{BO}^2}{p(\chi) d_0^4}\right)}\!\,$$

其中是1 AU，是相位角（以弧度为单位），是相位积分（反射光的积分）。是观察者与身体之间的距离，是太阳与身体之间的距离，是观察者与太阳之间的距离。这个公式可能看起来很吓人，但是可以通过一些近似来简化它。首先，我们可以将相位积分近似为： 其中 χ p （χ ）d 乙ö d 乙小号 d ø 小号 p （χ ）= $d_0$$\chi$$p(\chi)$$d_{BO}$$d_{BS}$$d_{OS}$

$$p(\chi) = \frac{2}{3} \left( \left(1 - \frac{\chi}{\pi}\right) \cos{\chi} + \frac{1}{\pi} \sin{\chi} \right)$$ $\chi$是相角，以弧度为单位。在月球的情况下，我们可以设置（这是满月期间的绝对大小）， AU和 AU。现在我们得到公式：$H_{Moon} = +0.25$$d_{OS} = d_{BS} = 1$$d_{BO} = 0.00257$

$$m_{Moon} = 0.25 + 2.5 \log_{10}{\left(\frac{0.00257^2}{p(\chi)}\right)}$$

因此，现在，我们有了一个公式，该公式近似于任何给定相位角下月球的视在大小。但是，即使给出近似值，也不是100％准确。当需要准确性时，天文学家使用经验得出的关系来预测表观量级。

这是我编写的一个快速脚本，用于在给定任何相位角的情况下计算视在幅度：https : //jsfiddle.net/fNPvf/33429/

这是一种实用的方法-算法和方程式打包为软件库。

安装PyEphem：

http://rhodesmill.org/pyephem/

运行：

$ python
Python 2.7.12 (default, Jun 29 2016, 14:05:02) 
[GCC 4.2.1 Compatible Apple LLVM 7.3.0 (clang-703.0.31)] on darwin
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> import ephem
>>> moon = ephem.Moon(ephem.now())
>>> print moon.phase
32.316860199
>>> print(ephem.next_new_moon(ephem.now()))
2016/9/1 09:03:05
>>> print(ephem.next_full_moon(ephem.now()))
2016/9/16 19:05:05
>>> 

“相位”介于0（新月）和100（满月）之间。

更多细节：

http://rhodesmill.org/pyephem/tutorial.html