地球轨道的变化

每当航天器非常靠近行星并且航天器具有正确的角度时，它就能够利用行星的速度将自身进一步移动到太空中。

根据牛顿第三定律：每个动作都有相等的反应。

在这种情况下，例如当航天器使用地球重力加速时，地球将朝航天器移动。地球的轨道变化将非常小，因为与地球的质量相比，宇宙飞船的质量很小，但是如果一个大的小行星紧挨着，或者如果我们利用地球的重力弹射我们的宇宙飞船并保持很长一段时间，该怎么办。

在这种情况下会发生什么？这会对地球的轨道产生巨大影响吗？

这样的重力辅助是弹性碰撞的一种形式。这里有一些数字运算（希望没有错误！），因此您需要熟悉动量，动能及其守恒的基本知识。

问题：如果谷神星（最大的已知小行星，直径近500公里）使用地球进行重力辅助以提高自身速度，那么地球减慢多少速度，地球的轨道会变大多少？

地球绕太阳的轨道速度为。因此，在$U = 29.8~\mathrm{km~s}^{-1}$

$$M = 5.97\times 10^{24}~\mathrm{kg},$$

它的动能为

$$K = 2.65\times 10^{33}~\mathrm{J}$$ ，动量 $$P = 1.78\times 10^{29}~\mathrm{kg~m~s^{-1}}.$$

假设Ceres正在执行引力弹弓，如下图所示。谷神星的质量为 。它以速度接近地球，在弹弓之后，它的最终速度是（对于低质量物体而言）是的。$m = 9.47 \times 10^{20}~\mathrm{kg}$$v$$2\times U+v$

系统的总动量必须保持不变。谷神星改变了方向，因此在向左的方向上获得了大量的动量：地球必须失去的动量。动能也是守恒的。因此，我们有一个方程组，其中下标i和f是初始和最终动量和速度。M和U是地球的质量和速度，m和v是谷神星的质量和速度。

$$MU_i^2 + mv_i^2 = MU_f^2 + mv_f^2$$

这表示两个物体的初始动能之和必须等于最终动能之和。我们还保持势头：

$$MU_i + m\vec{v}_i = MU_f + m\vec{v}_f$$

解决这些方程，解决方案是

$$v_f = \frac{(1-m/M)v_i + 2U_i}{1-m/M}$$

如果谷神星以接近地球，我将得到 -即使对于如此大的物体，近似值非常好。这意味着谷神星的速度在重力辅助下几乎增加了三倍。$v_i = 30~\mathrm{km~s}^{-1}$$v_f = 89.6~\mathrm{km~s}^{-1}$$v_f \approx 2U+v$

因此，地球的最终动量是

$$MU_f = MU_i - mv_i - mv_f = 1.78 \times 10^{29}~ \mathrm{kg~m~s^{-1}}$$

实际上，地球的线性动量只会降低。从动量和地球质量的这种变化，我们发现其轨道速度降低了 。$mv_i + mv_f = 1.13 \times 10^{23} ~\mathrm{kg~m~s^{-1}}$$0.019~\mathrm{m~s}^{-1}$

近似圆形轨道（使用），地球的轨道扩大了190 km。听起来很多，但请记住，这是1.5亿中的190公里！$r=GM_{sun} / v^2$

谷神星比我们可以发射的任何卫星大许多数量级。因此，我们永远无法实际使用航天器来显着改变我们的轨道，即使是巨大的未命中小行星也不会有太大影响。但是，它并没有阻止一些尝试！