开普勒如何通过数据“猜测”他的第三定律？

开普勒通过不使用计算器，仅使用笔和纸就可以查看数据来确定他的三个定律，这真是令人惊讶。可以想像他是如何证明自己的法律在对数据进行了猜想后就对数据进行了描述的，但我不明白的是，他是如何猜到它们的。

我将特别关注开普勒第三定律，该定律指出行星的轨道周期的平方与轨道的半长轴的立方成比例。

我假设开普勒仅在处理有关行星，加上我们自己的月亮和太阳的数据。我之所以做出这个假设，是因为我不认为开普勒还没有其他望远镜，彗星或小行星的数据。如果这是真的，知道开普勒还活着时还没有发现海王星，天王星和冥王星，那么这意味着开普勒只有不到9个数据点可以使用。

我的朋友声称，开普勒如何猜测这种关系是完全可以想象的（尽管他没有提供开普勒可能如何做到的方法），而且开普勒的观察“并不那么困难”。作为挑战，我给我的朋友提供了一个数据表，其中的一列标记为，另一列标记为，并且有9个坐标符合关系。我说“请找到和之间的关系”，正如您可能希望他做的那样。$x$$y$$(x,y)$$x^4=y^3$$x$$y$

请向我解释开普勒如何猜测这种关系在很少的数据点下是如何工作的。而且，如果我认为开普勒拥有的数据点数量很少的假设是错误的，那么我仍然认为，如果没有计算器，很难猜测这种关系。

开普勒的第三定律与他的第一定律相比是微不足道的。他能够推断出轨道是椭圆形，这让我印象深刻。为此，他必须来回绘制火星从地球的方向和地球从火星的方向。他知道两颗行星的年长，因此相隔一年的火星观测结果会有所不同，仅是因为地球已经移动了。

但也许不是那么琐碎。他于1609年发布了前两个定律。第三条定律直到十年后的1619年才问世。经过十年的努力，即使是最晦涩的关系也将最终被发现。

要发现功率比关系，请绘制数字的对数。在的示例中，原木将以的斜率绘制在一条直线上。$x^4 = y^3$$3/4$

时机正确。纳皮尔（Napier）于1614年出版了他的关于对数的书。开普勒（Kepler）可能一时兴起地将这种有光泽的新数学工具应用于他的老旧数据。

最大的障碍是，当时只有六个已知行星，因此他没有足够的数据点，而他所拥有的数据点也不是很精确。

开普勒的另一个问题是他的法律对他没有任何意义。它们适合数据，但他不知道为什么。他没有牛顿的运动定律，也没有力，动量，角动量，当然也没有重力。据他所知，行星是按照上帝的旨意行事的，而天使的任务是推动行星沿着其轨道运动。外行星的移动速度较慢，因为它们受到较小天使的推动。

（费曼发表的评论是，我们现在了解的更多了。我们现在知道天使在外面向太阳推进。）

开普勒对第三定律是如何形成的描述如下（Caspar p.286；重点是我的）：

1618年3月8日，如果需要有关时间的确切信息，它就出现在我的脑海中。但是当我将其插入计算并拒绝为假时，我并不走运。终于，在5月15日，它又来了，又有了新的征兆，征服了我心灵的黑暗，在那之后，在我对Tychonic观测工作的十七年和我现在的审议工作之间达成了如此出色的协议，以至于我最初认为我已经梦见并承担证明中所寻求的。但是完全可以肯定和准确地说，任何两个行星的周期之间的比例恰好 是平均距离比例的一半一半 。

尽管开普勒并未真正描述使他相信这一点的灵感，但结合一些背景传记信息，好奇的措辞提供了非常有力的线索：

1. 约翰·纳皮尔（John Napier）于1614年发表了Mirifici Logarithmorum Canonis Descripto，其中包含了当时对数的新发明。开普勒在1617年之前就已经意识到纳皮尔的作品（卡斯珀，第308页）。
2. 约斯特·布尔吉（JoostBürgi）几乎在纳皮尔（Napier）的同一时间出版了对数研究，开普勒同样意识到布尔吉（Bürgi），甚至称赞他的数学能力超过大多数数学教授。

因此，开普勒的陈述等同于说数据在对数-对数图上的斜率是1.5，这是在该尺度上非常简单的线性关系。

参考文献：

1. 卡斯珀，马克斯，开普勒，（多佛，纽约，1993）。