仅仅知道链轮上的齿数就能确定准确的直径吗？

链轮是n边的正多边形，其中n是齿数。多边形的边长s是每个链轮齿从尖端到尖端的距离。

正多边形的半径的公式为：

_{（来源：mathopenref.com）}

如果使用zenbike的12.75mm以上的s，则半径为107.61，直径为215.22mm，这与他的近似值非常接近。

比较两个公式，可以看出长度项可以消除。这给我们留下了：

1 / sin（pi / n）与n / pi

对于较大的n，这些项收敛，当n = 53 时，误差仅为0.12mm 。当n变小时，它会变大，n = 11时相差.64mm。

出于所有实际目的，我只会使用s * n / pi，即使对于遇到的最小齿轮也要在1毫米之内。

如果您仅知道链条的节距（大多数自行车的标准配置）和齿数，则仅可以通过销钉中心完整地描述圆（和n边形）。我将尽我所能以可读的方式对文本进行数学公式处理，但是我将充分描述四个圆圈/ n形中的每一个：

让：

n =齿数

L =链节距（链节长度）（大多数自行车为12.7mm）

参见下面的谷，辊顶和齿顶测量。请注意，齿顶在制造商之间可能会有所不同，并且在齿圈的整个使用寿命中都会有所不同。底部的替代方法可能是最容易使用的框架清除方法。

因为您知道链条的节距（1/2“或12.7mm是通常在自行车上使用的40系列链条），所以链条销将形成规则的n边形（n边长度相等的多边形） ，每边等于12.7mm。此n边的周长公式很简单（如下所示），对于大多数近似值来说都是合适的。请注意，这也等于缠绕在链环上的链长。环（链将跟随n-gon，而不是圆圈）。

销中心所形成的n边的周长

n边的周长= L * n = 12.7 * n mm

但是，用针中心描述圆并不完全准确。更精确的公式如下：

穿过图钉中心

圆周= pi * L /（正弦（180 / n））= 39.8982 /（正弦（180 / n））mm

半径= L /（2 sin（180 / n））= 6.35 / sin（180 / n）mm ='pcRad'（销中心半径）

直径= L /正弦（180 / n）= 12.7 /正弦（180 / n）mm ='pcD'（销中心直径）

现在，我们将需要其他信息来描述两个相关的圆/ n形：

对于谷底和滚筒顶，我们需要知道销子周围的链轮的半径或直径。根据http://en.wikipedia.org/wiki/Roller_chain的说法，一个40系列链的滚子直径为0.312英寸（7.92毫米）。由于从销中心到谷底的距离为半径滚筒：

在山谷的地面上圈/正多边形

rRad =滚轮半径（大多数自行车为3.96毫米）

谷底n边的周长= 2 * n *（pcRad-rRad）* sin（180 / n）

= 2n *（pcRad-3.96）* sin（180 / n）毫米

floorRadius = pcRad-rRad = pcRad-3.96毫米

floorDiameter = 2 * fRad = pcD-2 * rRad = pcD-7.92毫米

链辊顶部的圆/正角

滚筒顶部n边的周长= 2 * n *（pcRad + rRad）* sin（180 / n）

= 2n *（pcRad + 3.96）* sin（180 / n）毫米

rollerTopRadius = pcRad + rRad = pcRad + 3.96毫米

rollerTopDiameter = 2 * rtRad = pcD + 2 * rRad = pcD + 7.92毫米

rollerTopCircumference = pi * rtD = pi *（pcD + 2 * rRad）= pi *（pcD + 7.92）毫米

现在，为了描述最后的圆/ n形，我们需要销钉中心上方的齿高。我希望这对于新的链环来说是正面的，而对磨损的链环来说是负面的：

齿尖的圆/正角

t =齿尖高度超过销中心（如果低于则为负）

齿尖n边的周长= 2 * n *（pcRad + t）* sin（180 / n）

tipRadius = pcRad + t

tipDiameter = 2 * tRad = pcD + 2 * t

tipCircumference = pi * tD = pi *（pcD + 2 * t）

另外，为使此计算更容易（但在磨损的链环上精度略低），您可以测量自己的单个齿距。理想情况下，它们将比链节距稍长，但随着链条磨损而改变：

齿尖的圆/正角-交替

tSpacing =齿尖之间的平均距离

齿尖n边的周长= n * tSpacing

tipRadius = tSpacing /（2 sin（180 / n））

tipDiameter = 2 * tRad = tSpacing /正弦（180 / n）

tipCircumference = pi * tD = pi * t间距/（正弦（180 / n））

编辑：

我将这个问题发布在math.se上，并得到了一个有趣的答案，该答案基本上证实了Lantius的答案是更准确的数学模型，而我的答案是自行车世界的实用近似值。

只有牙齿的数量，没有。

但是给定齿数，以及每个齿的尖端到尖端之间所需的间距，以匹配所用链环品牌的链条，您可以轻松确定周长。

通过圆周，确定直径很简单。

将直径除以Pi（3.14159至小数点后五位）

C = D / 3.14159

因此，如果齿数为53，而齿距为12.75mm，则圆周长为675.75毫米。

675.75毫米除以3.14159得到的直径为215.1毫米。转换并舍入为2的地方，为8.46英寸。

我测量了53齿Shimano链环的直径，它是8.51英寸。所以我相信我的数学应该和我的测量公差一样准确。