为什么将模型视图矩阵的转置逆用于转换法向量？

当渲染3D场景并将变换应用于对象时，必须使用模型视图矩阵的转置逆来变换法线。因此，对于法线，modelViewMatrix ，变换后的法线为 $n$ $M$ $n'$

n^{'} = (M^{- 1})^{T} \cdot n

$n' = (M^{-1})^{T} \cdot n$

变换对象时，很明显需要对法线进行相应的变换。但是，为什么从数学上讲这是对应的转换矩阵呢？

transformations geometry

— 尼禄
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如果模型矩阵由平移，旋转和缩放组成，则无需进行反转置即可计算法线矩阵。只需将法线除以平方比例，再乘以模型矩阵即可。您可以将其扩展到具有垂直轴的任何矩阵，只需为要使用的矩阵的每个轴计算平方比例即可。我在博客中写了详细信息：lxjk.github.io/2017/10/01/Stop-Using-Normal-Matrix.html

— Eric

这是需要逆转置的简单证明。假设我们有一个平面，由平面方程定义，其中是正常的。现在我想用一些矩阵变换这个平面。换句话说，我想找到一个新的平面方程是满足了完全相同的满足前面的平面方程值。 $n \cdot x + d = 0$ $n$ $M$ $n' \cdot Mx + d' = 0$ $x$

为此，将两个平面方程式设置为相等就足够了。（这放弃了任意缩放平面方程的能力，但这对论点并不重要。）然后我们可以设置并将其减去。我们剩下的是： $d' = d$

n^{'} \cdot M x = n \cdot x

$n' \cdot Mx = n \cdot x$

我将使用矩阵表示法（将向量视为1列矩阵）表示的点积来重写此代码：

{n^{'}}^{T} M x = n^{T} x

${n'}^T Mx = n^T x$

现在要满足所有，我们必须具有： $x$

{n^{'}}^{T} M = n^{T}

${n'}^T M = n^T$

现在求解来讲， $n'$ $n$

\begin{aligned} {n^{'}}^{T} & = n^{T} M^{- 1} \\ n^{'} & = (n^{T} M^{- 1})^{T} \\ n^{'} & = (M^{- 1})^{T} n \end{aligned}

$\begin{aligned}{n'}^T &= n^T M^{-1} \\ n' &= (n^T M^{-1})^T\\ n' &= (M^{-1})^T n\end{aligned}$

快点！如果点由矩阵变换，则平面法线必须通过的逆转置变换，以保留平面方程。 $x$ $M$ $M$

这基本上是点积的属性。为了在应用转换时使点积保持不变，必须对两个向量进行点缀，但必须以相应但不同的方式进行转换。

数学上，这可以通过说出法线矢量不是一个普通的向量来描述，但事情称为covector（又名协变矢量，双载体，或直链形式）。协矢量基本上定义为“可以用矢量点缀以产生不变标量的事物”。为了实现这一点，它必须使用在普通矢量上运行的任何矩阵的逆转置进行变换。这适用于任何数量的尺寸。

请注意，特别是在3D模式下，双向量类似于辅助向量。它们并不完全相同，因为它们具有不同的单位：协矢量的长度单位为倒数，而双矢量的长度单位为平方（面积），因此它们在缩放时的行为不同。但是，它们的定向方式确实相同，这对于法线很重要。我们通常不关心法线的大小（无论如何我们总是将其归一化为单位长度），因此我们通常不必担心双矢量和协矢量之间的差异。

— 内森·里德（Nathan Reed）
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很棒的解释。但是，在2点上有点快，您会喜欢更多细节：1.如何从点积跳到矩阵积？2.在最后引用部分的第2行和第3行之间，发生了什么（n对我来说从左向右神奇地移动了）

— v.oddou

1.如果a和b是相同维的列矩阵，则（a ^ T）b与点（a，b）相同。自己尝试一下数学！2.（AB）^ T =（B ^ T）（A ^ T），并且（A ^ T）^ T = A有关更多矩阵身份，请查看Matrix Cookbook

— Mokosha

@ v.oddou是的，Mokosha是正确的。点积可表示为将1×n矩阵（行向量）与×1矩阵（列向量）相乘; 结果是一个1×1矩阵，其单个成分是点积。列向量的转置是行向量，因此我们可以将a·b写为a ^ T b。对于第二个问题，转置矩阵乘积等效于转置单个因子并反转其顺序。

— 内森·里德

完美，现在一切都清楚了。都谢谢

— v.oddou

@NathanReed（天哪，这使我回到了PowerVR的早期时代，我们使用飞机为大多数事物建模）。可能还值得一提的是，出于优化目的，如果您的矩阵Mr只包含旋转（即正交），则Inverse（Mr）= Transpose（Mr），因此Trans（Inverse（Mr）= _ Mr_。您也可以走捷径与翻译部分，如果你知道这个比例是一致的FWIW在SGL的PowerVR图形库，我们用来保持布尔跟踪变换矩阵是否具有这些特性，以节省成本与正常转换。

— 西蒙F

这仅仅是因为法线并不是真正的向量！它们是由叉积创建的，将产生双向量，而不是向量。代数在这些坐标上的工作方式大不相同，几何变换只是行为不同的一种操作。

埃里克·伦盖尔（Eric Lengyel）在Grassman Algebra上的演讲是了解更多有关此内容的重要资源。

— ap_
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法线也称为伪向量。作为概括和经验法则，由叉积（例如飞机）产生的所有内容都将以类似的方式进行转换。

— 马提亚斯