半球谐波的卷积

球谐函数（SH）是一种仅用少数几个系数表示低频球面函数的方法。它们具有一些不错的数学性质，例如，可以将具有核函数h（x）（具有圆对称性）的卷积计算为

$（h * f）^ m_l = \ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}} h ^ 0_l f ^ m_l$

如果对于3级SH 用余弦波瓣进行卷积，这会导致带的简单缩放

$[\ pi，\ frac {2 \ pi} {3}，\ frac {\ pi} {4}]$

在许多情况下，例如不透明表面上给定点的入射光，不需要完整的球面信息，因为球面的一半始终为零/不确定/未使用。因此，半球谐波（HSH）诞生了。

HSH与任意核（具有圆形对称性）的卷积如何工作？是否可以扩展SH的卷积，或者是否有任何论文对此进行详细介绍？

hemisphere

您写的是“具有圆形对称性的任意核”：这是否意味着您实际上只需要与（半球）带谐波区域进行卷积？如果对称轴不同，您仍然可以通过在Zonal卷积之前和之后增加旋转来使用它。本文介绍了如何执行旋转。与区域部分（m = 0）的集成应该比较容易。但是，与球谐函数一样，它对于任意函数都不是解析可解的。诸如余弦波瓣之类的简单事物应该可以正常工作（虽然尚未尝试过）。

— Wumpf

@Wumpf你是对的，这几乎可以归结为。对于SH，我只是将“ f的每个频带按[内核函数] h的相应m = 0项进行缩放”（引用Sloan的愚蠢SH技巧）。问题是，我可以对HSH做同样的事情吗？

— David Kuri

该答案试图简要概述一些重要方面。由于HSH的定义非常复杂，而且我无法找到一些预先评估的功能的概述，因此我没有提供示例只是因为这会花费我太多时间。

问题描述与暴力破解

为了确定具有任何基函数集的任何卷积并由此计算系数，我们通常需要计算域上的积分（对于SH是球形，对于HSH是半球形）。为了表示半球函数f，我们需要做的所有事情，该函数通过HSH基本函数H的系数c在theta（“上/下”）和phi（“左/右”）的角度上定义如下：

$\ int_0 ^ {2 \ pi} \ int_0 ^ {\ frac {2} {\ pi}} f（\ theta，\ phi）\ cdot H_l ^ m（\ theta，\ phi）\ cdot sin（\ theta）\ ，\，\ mathrm {d} \ theta \ mathrm {d} \ phi$

该罪（THETA）是存在的，因为我们整合（半- ）球的表面上。从概念上讲，在当前theta上，由phi更改引起的一块区域的大小更大或更小。在这里更多

如果我们不太在乎精度或计算时间，则可以通过采样来解决此问题：在半球上生成均匀分布的（！）方向，计算f和H的乘积并取平均结果（如果您真正地均匀分布点，您不需要sin（theta）。

分析解决方案入门

当然，我们希望为我们的功能提供一个解析解决方案，但这会使事情变得非常困难。第一步，我们可能需要将在笛卡尔方向上给出的函数转换为球坐标。这部分仍然很简单，只需替换以下所有x，y和z：

$[x，y，z）\ rightarrow（\ sin \ theta \ cos \ phi，\ sin \ theta \ sin \ phi，\ cos \ theta）$

请注意，这为我们提供了一个系统，其中z轴是应由HSH表示的半球的“上”（theta = 0）。之后，可能已经可以将所有内容插入计算机代数系统并求解方程式了。不要尝试求解所有的m＆l，而是一次尝试一个系数，因为不可能有一个紧凑的表达式一次描述所有这些系数。HSH的定义相对复杂，因此评估这些功能非常繁琐。在本文中，笛卡尔坐标系中提到了零阶和一阶HSH基函数。

关于旋转和分区谐波的注意事项

绕此z轴旋转对称的函数非常适合成功进行解析推导，因为它们仅影响分区系数，而分区系数都是索引m等于零的系数。这对于更通用的球谐函数特别有用，该球谐函数存在一个简单的公式，可以将任何区域球谐函数表示旋转到任意方向，从而得到球谐表示而没有任何数据丢失（请参见此处））。这意味着您可以通过假设您的径向对称“函数指向z”并旋转然后将其旋转到任何所需的方向来导出ZSH系数。例如，这完美地适用于各种余弦波变化，并且还为您提供了问题中提到的因素。

现在的坏消息是：对于HSH，函数绕z以外的另一轴的任何旋转都是有损耗的，因为旋转后您的函数将“接触”下部未定义的半球。因此，也没有方便的“ HHS的半带状”旋转公式。相反，有多种方法可以解决不同的缺点。有关更多详细信息，请参见本文和演示文稿。

顺便说一句：使用半球形的H-Basis，所有这些操作都变得更加容易（但最初只为有限的频带定义）。

— 旺夫
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