为什么在计算机图形学中使用同质坐标？

为什么在计算机图形学中使用同质坐标？

如果在矩阵变换中不使用同质坐标，将会有什么问题？

它们简化并统一了图形中使用的数学：

• 它们使您可以用矩阵表示翻译。

• 它们使您可以表示透视投影中的深度划分。

第一个与仿射几何有关。第二个与射影几何有关。

它的名称是：均质坐标非常均匀。齐次表示旋转，平移，缩放和其他变换的统一表示。

统一表示允许优化。3D图形硬件可以专门用于在4x4矩阵上执行矩阵乘法。甚至可以专门识别和保存0或1的乘法，因为它们经常被使用。

不使用齐次坐标可能难以充分利用经过高度优化的硬件。无论哪种程序都认识到，可以使用硬件的优化指令（通常是编译器，但有时情况会更复杂）来实现同类坐标，而很难优化其他表示形式。它将选择优化程度较低的指令，因此不会利用硬件的潜力。

就像有个例子一样：索尼的PS4可以执行大规模矩阵乘法。它的优点是如此之大，以至于它被抢购一空，因为它们使用的是集群而不是更昂贵的超级计算机。索尼随后要求不得将其硬件用于军事目的。是的，超级计算机是军事装备。

对于研究人员来说，即使不涉及图形，使用图形卡来计算其矩阵乘法也已变得非常普遍。仅仅是因为它们比通用CPU更好。为了进行比较，现代多核CPU的流水线数量约为16个（x0.5或x2无关紧要），而GPU的流水线数量约为1024个。

除了允许实际并行处理的管道外，核心还不止这些。核心在线程上工作。必须对线程进行显式编程。管道在指令级别上工作。芯片可以自己或多或少地并行化指令。

补充：

$(x,y, z, 0) = \frac{x,y,z}0$$x,y,z$

关于透视变换，它甚至允许正确插值而没有透视失真（与PC上的早期图形硬件相反）。

作为一种个人品味，我总是（尽可能）避免使用均一的坐标，而是首选纯直角坐标系。

主要原因是这样的事实：齐次坐标在转换矩阵中使用4个琐碎的条目（0、0、0、1），这涉及无用的存储和计算（也是通用矩阵计算例程的开销，该例程在默认情况下使用）这个案例）。

缺点是在编写方程式时您需要加倍小心，并失去对矩阵理论的支持，但到目前为止，我还幸免于难。

$$\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}cos(\theta)&-sin(\theta)\\sin(\theta)&cos(\theta)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}k1&0\\0&k2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}s\\t\end{bmatrix}$$

令R和S为旋转和缩放矩阵，而T为平移矢量。在计算机图形学中，您可能需要进行一系列翻译。您可以想象这会变得多么棘手。

$$p'=SR(Sp+T)+T$$

$$M=TSRTS$$ $$p'=Mp$$

$$p=\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}$$ $$R=\begin{bmatrix}cos(\theta)&-sin(\theta)&0\\sin(\theta)&cos(\theta)&0\\0&0&1\end{bmatrix}$$ $$S=\begin{bmatrix}k1&0&0\\0&k2&0\\0&0&1\end{bmatrix}$$ $$T=\begin{bmatrix}1&0&t1\\0&1&t2\\0&0&1\end{bmatrix}$$

$$p=\begin{bmatrix}x\\y\\w\end{bmatrix}$$ $$Q=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&-1&0\end{bmatrix}$$

仿射坐标的计算通常需要除法，与加法或乘法相比，除法成本很高。使用投影坐标时通常不需要除法。

使用投影坐标（更普遍地，使用投影几何）也趋向于消除特殊情况，从而使所有内容更简单，更统一。

• 更简单的公式
• 更少的特殊情况
• 统一与
• 二元性