假设微面分布函数的原因？

文章《通过粗糙表面折射的微面模型》（以及其他内容）提醒我们有关微面分布函数D的以下假设：

1. 微面密度为正值
2. 总微表面积至少与相应的宏观表面积一样大
3. 在任何方向v上，微表面的（有符号）投影面积与宏观表面的投影面积相同

我可以理解为什么1）分布密度为正值，并凭直觉认为2）表示倾斜的微面的总面积不能小于其投影。
但是，我不确定3）的理由。第三条件是什么意思？

$v$$v\dot\ \hat N$$\hat N$

现在将宏观表面划分为微面。微刻面的总面积至少相等（假设2），但是表面中的每个“扭曲”会使单独的微刻面的法线弯曲远离原始法线。无论微面的形状如何，其投影面积之和都不会改变。在沿着法线看的情况下，很容易看到总投影面积是相同的：曲面必须变大或变小才能改变。

对于任何方向，微面都必须覆盖表面原始投影区域的一部分。在仍然填充该部分的同时更改微面的方向不会更改其投影区域。

有一个棘手的情况，那就是微面彼此悬垂。在这种情况下，总面积更大，因为某些区域被一个以上的微面覆盖。但是在这种情况下，至少一个微面必须最终指向背离视线的方向，回到表面。在这种情况下，点积为负，因此这抵消了一个以上的微面所覆盖的区域。这就是为什么文本要小心地指出它是已签名的投影区域的原因。

还有另一种棘手的情况，那就是微面超出对象轮廓的位置。当您从非常扫视的角度看时，或者悬垂的小平面悬于表面外围之外时，可能会发生这种情况。在这种情况下，微面的投影面积将更大，这违反了第三个假设。我们通常不考虑这种情况。直观上，它与诸如凹凸贴图之类的技术不会改变对象轮廓的形状这一事实相匹配。