需要有可靠的证据来证明地球地平线的形状

我要的是什么

我强调，我并不是要求公式 -我知道公式，以及如何推导它。文章结尾附近转载了它的几个不同版本。实际上，其他人不仅已经派生了它，而且还很好地介绍了这里的派生之一。

我需要的是该公式的一个著名来源，以便例如可以将其放到Wikipedia上而不违反其禁止报告原始研究的规定。[人们实际上已经尝试过 ...但是相关文章中有一些非常尽职的编辑，他们删除了该部分是因为它是原始研究……而且，不幸的是，该编辑是正确的，因此尝试没有太多意义。战斗。]

我在计算机图形学stackexchange中发布的原因

由于此处的某人可能已经模拟了地球从轨道上看的样子，因此他或她可能知道此公式（或更可能是它的某种概括）是否在某些书，杂志，会议论文集或课堂笔记中发表。等

我已经完成了“适当的谷歌搜索”

请理解，我并不是要任何人代表我去寻找答案。我已经做了很多谷歌搜索，并且只在这里发布了。我的希望（牵强）是这里的某人会马上知道参考。如果没有，那么，我希望至少您喜欢下面的漂亮图片（如果我自己这么说的话，我会与所有对计算机图形学感兴趣的人进行全面交流，然后再转向更大，更好）东西。

两个接近的来源

1. DK Lynch，“从视觉上识别地球的曲率”，《应用光学》第一卷。47，H39（2008）。它可以在这里免费获得。不幸的是，作者没有采取正确的方法（这并不难），而是选择了一种骇客，这（a）我并不完全理解，并且（b）与我所知道的不符。正确的公式。

2. R. Hartley和A.Zisserman，《计算机视觉中的多视图几何》，第二版。（剑桥大学出版社，英国剑桥，2004年）。在秒 8.3，“投影相机在二次曲面上的作用”，我们读：

假设二次曲面是一个球体，则相机中心和二次曲面之间的光线圆锥是右圆形的，即轮廓生成器是一个圆，该圆的平面正交于连接相机和球体中心的线。从几何形状关于这条线的旋转对称性可以看出这一点。球面的图像是通过将圆锥与图像平面相交而获得的。显然，这是经典的圆锥形截面，因此，球体的外观轮廓是圆锥形的。

原则上，如果仅包含更多信息，这将恰好是所需要的-至少一个圆锥形的偏心度表达式，它是与球体的距离和球体半径的函数（在这种情况下，当图像平面垂直于圆锥体的母线时，例如针孔相机对准地平线上的点时就是这种情况。

我需要学术参考的公式的详细信息

我们假设没有大气的完美球形，完美光滑的地球。我们将理想的针孔相机对准地平线，并使用简单的中央投影，计算相机背面的地平线图像的形状（即胶片在胶片上的形状-“胶片平面”） 。这是一个图形（在Asymptote中为感兴趣的人制作），该图应该使它更清晰：

正如我们在上面看到的，地平线的图像是圆锥截面的一部分。令为圆锥的偏心率；我上面提到的推导使用参数k代替，它只是反偏心率：k = 1 / ε。偏心率本身为ε = 1 / $\varepsilon$$k$$k=1/\varepsilon$，其中ϵ=h/R是地球表面上方针孔的高度h与地球半径R的比。[而不是使用ε，这是之比海拔到- [R ，它可能使用是有用的η的比值，针孔的地球的中心的距离，ħ+- [R ：向地球半径η=（[R+ħ）/R=$\varepsilon=1/\sqrt{\epsilon(2+\epsilon)}$$\epsilon=h/R$$h$$R$$\epsilon$$R$$\eta$$h+R$。来讲 η，我们有 ε = 1 / $\eta=(R+h)/R=1+\epsilon$$\eta$ ]。$\varepsilon=1/\sqrt{\eta^{2}-1}$

从针孔（图形中的点）到胶片平面的距离被视为一个单位长度。$P$

胶卷平面中的轴选择为平行于连接地球C中心（图像中未显示）和地平线上的点（相机中标记为V）的线。因为线C V必须平行于胶片平面，所以此选择定义明确。这是因为C V和胶片平面都垂直于视线P V（连接P和V的线）。和那是因为1.线P V相切地球在V，因此垂直于$y$$C$$V$$CV$$CV$$PV$$P$$V$$PV$$V$和2. P V垂直于胶片平面，因为相机是在 V处训练的。所述 X轴是当然的垂直于 Ý在薄膜面内轴和谎言，并且原点被选择作为该点的投影 V。$CV$$PV$$V$$x$$y$$V$

有了这些定义，我们准备写下圆锥截面的表示形式，即地球地平线的图像。这可以用很多方式来写，下面给出其中一些。我需要的是这些公式中的任何一个或等效于它们的公式的知名参考。

1.上述推导中给出的显式

我上面提到的推导将其作为最终版本：

$[\,y\,(1/\varepsilon-\varepsilon)-1\,]^{2}+x^{2}(1/\varepsilon^{2}-1)=1.$

让我们用另外两种方式来表示。

2.用圆锥截面的典范方程表示

在这种情况下，方程式采用以下形式：

，$x^2=2\mu y-(1-\varepsilon^{2}) y^2$

其中，在我们的例子中，。$\mu=\varepsilon$

规范形式的优势在于，它可以平等地处理所有圆锥曲线，特别是抛物线。在``标准''公式中（见下文），抛物线的情况只能通过限制ε → 1来处理。$\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$

详细说明：在上述式中的右圆锥，其边对着的角度的情况下保持，被相交---在距离d从锥体的顶点---由一个平面以一个角度ω相对圆锥轴 （为澄清起见：d是从圆锥顶点到椭圆上最接近圆锥顶点的点的距离；该点始终是椭圆长轴的一端之一）。在这种一般的情况下，偏心被给定为ε = COS ω / COS θ，而μ = d （ε - COS |$2\theta$$d$$\omega$$d$$\varepsilon=\cos \omega/\cos \theta$。$\mu=d(\varepsilon-\cos|\omega+\theta|)$

根据以上图形：是从P到胶片平面的距离（即，沿红色虚线的距离）；θ是红色虚线和圆锥轴（这是连接P和地球中心的线-黑色线在图中标记为h的延长线）之间的夹角；角度ω是圆锥的轴线与膜平面之间的角度。$d$$P$$\theta$$P$$h$$\omega$

给定胶卷平面垂直于红色虚线，我们有 ; 另外，我们取d = 1，然后合计得出μ = ε。$\omega+\theta=\pi/2$$d=1$$\mu=\varepsilon$

3.以圆锥截面的“标准形式”表达

这种形式也许是最熟悉的：

。$\frac{(x-x_{0})^{2}}{p^2}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{q^2}=1$

它与输入规范方程式的参数有关（请参见上面的2.），如下所示：

;$x_{0}=0$

（其为$y_{0}=q=\frac{\mu}{1-\varepsilon^{2}}$在我们的情况下，请注意，Ŷ0=q不同于椭圆经过原点）的事实如下：和$\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon^{2}}$$y_{0}=q$

（即$p=q\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}=\frac{\mu}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$在我们的情况下）。$\frac{\varepsilon}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$

显然，抛物线情况会产生问题；反之亦然。如上所述，必须通过取极限ε → 1来处理这种情况。$\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$

4.用参数曲线表示

$x=\frac{(\epsilon+1) \cos (\alpha )}{\sin (\alpha )+\epsilon(\epsilon+2)}$

$y=\frac{\sqrt{\epsilon (\epsilon+2)} (\sin (\alpha )-1)}{\sin (\alpha )+\epsilon (\epsilon+2)},$

其中是地平线上某个点的经度，定义为α = π / 2对应于上图中的点V（即，训练针孔照相机的点）。$\alpha$$\alpha=\pi/2$$V$

有关如何使用这些公式的信息，请参见this。

结论...

有没有人在某些著名的资料来源中看到过上述公式，可能是在对地球从太空看起来如何建模的上下文中？如果是这样，您能告诉我这个消息是什么吗？

谢谢！

您要寻找的曲线只是一个平面（相机背面）和一个右圆锥的相交点。这不是关于地球的问题，也不是关于太空中行星的观点的问题。这只是简单的3D坐标几何。为了找到参考，我建议搜索“平面与圆锥的交点”或“圆锥的平面截面”或“二次曲面的平面截面”，类似的东西。

我希望您可以在3D坐标几何的任何标准文本中找到相关的公式（和导数）。一些可能的地方是：

• 鲑鱼-关于三维解析几何的论文
• 萨默维尔-三维分析几何
• Snyder和Sisam-空间的解析几何

这些都是相当古老的书，您可能找不到它们。

您也可以尝试在Math.StackExchange上询问。

在我看来，将衍生品称为“原始研究”似乎是荒谬的。这是解析几何中的高中作业问题。