将纹理映射到双曲三角形

我一直在如何解决这个问题上停留了一会儿，所以任何建议将不胜感激！

我想以右下欧氏三角形的形式将纹理映射到Poincare磁盘上的双曲三角形。

这是纹理（纹理的左上角三角形是透明的且未使用）。您可能会认识到这是Escher's Circle Limit I的一部分

抱歉，看到评论，因为我似乎不允许张贴两个以上的链接！

这就是我的多边形的样子（它以原点为中心，这意味着两个边都是直线，但是通常所有三个边都是圆弧）：

多边形的中心是由其顶点形成的欧几里得三角形的中心，我正在使用UV的中心对贴图进行UV映射，将其划分为与多边形具有相同数量的面，并将每个面映射到相应的多边形面上。但是结果看起来像这样：

如果有人认为使用UV映射可以解决此问题，我很乐意提供一些示例代码，但是我开始认为这可能是不可能的，我将不得不编写自己的映射函数。

由于AB，AC，BC线实际上可能是弧线而不是线，因此对@Nathan的答案进行了一些改进。

方法：选择最长的边，例如BC，然后将其细分为偶数个部分。将另外两个侧面细分为相同数量的零件。那么连接它们的线（下面答案中的DE）实际上也必须是弧线，而不是直线。根据需要细分这些新弧，添加新三角形作为面，然后将纹理的右下三角形UV映射到这些新面。

简单？一点也不。但这行得通。

我的猜测是，要使纹理看起来正确，还必须细分三角形的内部，并近似其内部的非线性UV贴图。

目前，看起来您正在围绕三角形的边缘进行细分，并在边缘和中心之间形成了一个较小三角形的扇形。如果您只是用纯色渲染三角形，那会很好。但是，当应用纹理时，您会在这些细分的边界处获得不连续性，因为纹理只是在每个细分的三角形上线性地拉伸，并且没有正确地沿径向近似于双曲映射。

您需要沿两个轴细分，如下所示：

并将所有顶点适当地放置在屏幕空间和UV空间中，以近似三角形内部的双曲线坐标。如果细分得足够细，这会产生连续弯曲纹理贴图的错觉。