如何射线追踪贝塞尔曲面？

我在math.SE上尝试了这个问题，令人惊讶的是，答案是“方程式太讨厌了，只需将函数提供给数值根查找器即可”。但是，如果您认为自己像我一样是“图形专家”，并且在设计工作中广泛使用Bezier曲线，那么我必须相信可以做得更好。Kajiya有一个已发布的算法，我没有背景知识（Sylvester矩阵），但是有关数学的建议是SE，其结果是t中的18度多项式，您仍然需要解决该问题。数值上。我有另一个想法，结果也差不多。

因此，希望以代数方式解决Ray / Bezier曲面相交问题，从而使其有可能进行明确的编码并具有超快的超光滑度，这是一个总的梦想吗？

除此以外，执行此计算最快的方法是什么？您是否可以“找到摆动”来获得递归细分的严格界限（和目标）？如果必须使用数字寻根器（叹气），它需要什么属性，并且速度是最佳选择吗？

我最初的想法是准备特定的表面，类似于我对三角形的其他数学问题的答案中所述的拉普拉斯展开。但是我也会对通用方法感兴趣。我只是在考虑一组固定的形状，例如犹他州的茶壶。但是我对优化动画帧之间的时间连贯性的方式非常感兴趣。

首先，这是我想您正在考虑的Kajiya方法：Kajiya，射线追踪参数补丁，SIGGRAPH82。技术报告版本可能会提供更多信息。

我希望您从中得到的是，这不是不可能的，并且如果您不介意用一些代数几何和复数弄脏您的手，那么从概念上讲也不是困难。但是，直接进行此操作非常昂贵。

“真实的”光线示踪剂往往会做两件事的某种组合：

• 在补丁上放置边界层次结构（例如AABB），以获取数字根查找器的良好“初始值”。如果做得好，可以避免“皱纹”问题。
• 将补丁整理成DDG外壳，然后像多边形网格一样进行光线跟踪。

最后一点听起来像消除了“超级平滑”的要求，但它并不比使用射线微分时差。使曲面细分级别与射线的“大小”匹配可以很好地限制错误。此外，您可能仍然需要纹理坐标的差异，因此您也可以使用它来控制相交测试的准确性。

利用时间相干性不是一个坏主意，但确切地讲，如何做到这一点在很大程度上取决于场景图的表示形式。您可能需要查看射线相干性。向您喜欢的搜索引擎询问有关射线包跟踪和射线重新排序的信息。

希望以代数方式解决Ray / Bezier-surface相交是一个总的梦想

是的，这是白日梦。双三次Bezier面片是18度的代数曲面。要使光线与该曲面相交，您必须找到18度的多项式的根。这些根没有公式-您必须通过数值方法来找到它们。实际上，有数学结果（Abel-Ruffini定理）告诉我们，永远不会有超过4级的方程式根的公式。它说它们永远不会被发现，因为它们不存在。

如果您真的想对曲线形状进行分析（代数）射线跟踪，则可以尝试使用Steiner色块。它们的阶数为4，因此可以通过找到四次方的根（即阶数为4的多项式）来计算射线补丁相交。有一些公式可以找到四次方的根，但是它们很讨厌，很难编写可靠地实现公式的代码。

我几十年前使用的另一种选择（yikes！）是使用 1985年的Toth方案，该方案采用区间算术来缩小搜索空间。IIRC最终将求助于Newton-Rhapson，但IIRC又一次，我认为它很少需要一个或两个以上的步骤来获得一个好的解决方案。

尽管我没有看过它（除了快速浏览），Mitchell还发表了一些有关间隔数学的光线跟踪的最新工作。

（我应该补充一点，如果只在做Bezier曲面，则interval方法可能有点“过大杀伤力”，因为您可以使用开花之类的技巧来获得边界和导数。但是，如果将Bezier曲线与其他函数结合在一起，例如绕轴旋转，则其通用性会更大。）

如果存在兼容性问题，则https://www.shadertoy.com/results?query=bezier按年龄排序：

，...显示了许多样条子集的许多解决方案，它们可以将距离返回到2d样条曲线，也可以跟踪3d面片。花键和面片有多种形式。天堂最简单，贝塞尔很简单，小节过于复杂。您对样条线的约束越多，获得的越简单。NURBS是扩展过大；-与更对称的样条曲线相比，其权重的非均匀性（“ NU”）降低了效率-其合理性（R）也增加了一些复杂性，难以进行分段（定量）和与附近分段的混合（递归解决）。

bezier-patch-tracing是根求解，随之而来的是对精度的上下文优先级确定；以什么顺序求解二次方程。由于指数复杂性和精度损失，对于指数高于立方的指数，这变得不切实际。

ray-marching == sphere-tracking是用于根求解的较简单的启发式方法，它似乎是渲染大多数样条线补丁的简单且最有效的解决方案。

Lagrange表示简化了跟踪/行进（因为L点在样条线上，而ControlVector点（完全相同的样条）很少在样条上）

天堂样条的特殊情况，其中stat和end的一阶导数== 0。简化了连续性，并减少了差异（减少了相减）。可以通过一次有效地跟踪Heavensine-patch：https：//www.shadertoy.com/view/4djfW3， 而其他三次（或更高）样条曲线 使启发式球体跟踪/射线行进方法更有效（并且“足够精确”），而不是敢于分析地计算所有根，以保持最小的正根（每个根以指数形式累积精度误差）。

在计算机图形学中，样条曲线和面片到2006年几乎已完全由z刷替换。z刷使用具有均质坐标的位移贴图，甚至使用“类型”，即我们将球体和线段合并（线段的半径为0，球体的长度为0，并集既简单又有用）。对于精度的微小损失，而在相对较低的查找表内存成本的情况下，却可以大幅提高性能，因此可以很容易地在gpu上使它动态化。