BRDF为什么不是辐射率的比例？

我正在学习BRDF，并想知道为什么将BRDF定义为给定方向的输出辐射与另一个方向的入射辐射之比。为什么不将BRDF定义为辐射比？

有两种方法可以回答这个问题：代数方法和几何方法。

代数上，我们可以通过查看其在渲染方程式中的位置来确定BRDF必须具有的单位。经典的渲染公式为：

$$L_\text{outgoing}(\omega) = L_\text{emitted}(\omega) + \int_\Omega L_\text{incoming}(\omega') \, f_\text{BRDF}(\omega, \omega') \, (n \cdot \omega') \, d\omega'$$

左侧的输出值为辐射度，因此积分的结果也必须为辐射度。被积分体包含一个辐射度乘以一个立体角，因此被积分体中的其他物体必须抵消该立体角因子。该因素是无量纲的，而唯一的其他东西存在BRDF，所以使整个事情工作了，在BRDF必须有逆立体角单位。等效地，BRDF可以看作是辐射与辐射的比率，因为它们在辐射分母中相差一个立体角。$d\omega'$$n \cdot \omega'$

另一种看待它的方式是，BRDF的作用类似于概率密度。如果查看概率密度的工作原理，则它们的单位与其域的体积成反比。例如，一维概率密度的单位是反长度（单位长度的概率，但是概率本身是无量纲的），二维维密度的单位是反面积的单位，依此类推。BRDF的作用与半球上定义的概率密度非常相似，从而使从给定方向进入的光子有可能被反射到其他方向。因此，像球域上的任何其他概率密度一样，它具有反立体角的单位。

从几何学上讲，我们可以深入了解黄铜大头钉，并分解渲染等式中积分中发生的事情。回想一下，积分是指将域细分为小块，并对所有块求和（在极限时，块变得无限小）。让我们看一看这样的作品。由于我们要累加许多部分以得出有限的输出辐射，因此被积数应导致辐射量无限小。因此，积分的一个无穷小部分看起来像：$dL$

$$dL = L_\text{incoming} \, f_\text{BRDF} \, (n \cdot \omega') \, d\omega'$$

如果我们稍微重新组合这些因子，则组合计算由于无穷小立体角发出的光而导致的表面辐照度。由于它是从无穷大的立体角到达的，因此会产生无穷小的辐照度。$L_\text{incoming} \, (n \cdot \omega') \, d\omega'$$d\omega'$$dE$

$$dL = f_\text{BRDF} \, dE$$

要么

$$f_\text{BRDF} = \frac{dL}{dE}$$

因此，BRDF充当从无穷大立体角到达表面的无穷小辐照度与由此产生的无穷小向外辐射之间的比例常数。它不可能是辐射的比率，因为我们有一个有限的入射辐射，并且如果我们想对积分的许多部分求和并得到一个有限的结果，我们需要一个无限小的向外辐射。为了实现这一目标，BRDF必须具有无穷小值，这在标准数学中不是……。:)

我希望其中一些帮助。有许多等效的方法可以解决此问题，就像数学和物理学中的许多事物一样。