什么是仿射变换？

什么是仿射变换？它们仅适用于点还是其他形状？它们可以“组成”是什么意思？

仿射变换是线性变换+平移矢量。

$$\begin{bmatrix}x'& y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b \\ c&d\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e& f\end{bmatrix}$$

它可以应用于单个点或线，甚至可以应用于贝塞尔曲线。对于线，它保留了平行线保持平行的属性。对于贝塞尔曲线，它保留了控制点的凸包属性。

相乘后，它产生2个方程，从原始对和常数列表产生一个“变换的”坐标对。。 （X ，Ý ）（一个，b ，c ^ ，d ，ê ，˚F ）X ' = 一个⋅ X + C ^ ⋅ ÿ + $(x', y')$$(x, y)$$(a, b, c, d, e, f)$

$$x' = a\cdot x + c\cdot y + e \\ y' = b\cdot x + d\cdot y + f$$

可以方便地将线性变换和平移矢量放到一个3D矩阵中，该矩阵可以在2D同构坐标上进行运算。

$$\begin{bmatrix}x'& y'&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}$$

上面的方程式相同。

非常方便的是，矩阵本身可以相乘以生成第三矩阵（常数），该矩阵执行与原始2依次执行的变换相同的变换。简单地说，矩阵乘法是关联的。

$$\begin{matrix} \begin{bmatrix}x''& y''&1\end{bmatrix} & = & \left( \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}\right) \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ & = & \begin{bmatrix}a \cdot x + c \cdot y+e & b \cdot x + d \cdot y+f &1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ &=& \begin{bmatrix}g(a \cdot x + c \cdot y+e) + i( b \cdot x + d \cdot y+f) + k \\ h(a \cdot x + c \cdot y+e) + j( b \cdot x + d \cdot y+f) + m \\1 \end{bmatrix}^T \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \right) \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}ag+bi& ah+bj &0\\ cg+di&ch+dj&0 \\ eg+fi+k&eh+fj+m&1\end{bmatrix} \end{matrix}$$

或者，您可以考虑一些基本的转换类型，并通过组合这些基本转换类型（将它们相乘）来组成任何更复杂的转换。

身份转换

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

缩放比例

$$\begin{bmatrix} S_x & 0 & 0 \\ 0 & S_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

*注意：可以使用缩放参数或进行反射。$(S_x, S_y) = (-1,1)$$(1,-1)$

翻译

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ T_x & T_y & 1 \end{bmatrix}$$

歪斜x y

$$\begin{bmatrix} 1 & Q_x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

歪斜y x

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ Q_y & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

回转

$$\begin{bmatrix} \cos\theta & -sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

[注意，我在这里显示了Matrix的形式，它在左边接受行向量。这些矩阵的转置将与右侧的列向量一起使用。]

纯粹由缩放，旋转和平移组成的矩阵可以分解回这三个分量。