是否可以将3d旋转矩阵（4x4）转换为其组成部分（旋转，比例等）？

更具体地说，我正在开发一个iOS应用，并具有一个CATransform3D结构（基本上是4x4转换数组）。

是否可以推断出该矩阵所暗示的所有不同“操作”？像它暗示多少旋转，缩放等？

您可以将矩阵分解为基本变换：平移，缩放和旋转。给定这个矩阵：$\mathbf{M} = \mathbf{TRS}$

$$\mathbf{M} = \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} & a_{03}\\ a_{10} & a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{20} & a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

您可以使用最后一列。$\mathbf{t} = (a_{03}, a_{13}, a_{23})$

对于缩放，我们知道矩阵的前三列对应于基数（轴）。我们可以通过这些向量的长度/范数来获得比例，即缩放了多少个碱基。因此比例为其中：$\mathbf{s} = (s_0, s_1, s_2)$

$$\begin{matrix} s_0 = \left \|(a_{00}, a_{10}, a_{20}) \right \|\\ s_1 = \left \|(a_{01}, a_{11}, a_{21}) \right \|\\ s_2 = \left \|(a_{02}, a_{12}, a_{22}) \right \|\\ \end{matrix}$$

现在您有了刻度，您可以使用与R S对应的子矩阵来去除刻度，方法是将矩阵乘以刻度S − 1的倒数来获得$3\times 3$$\mathbf{RS}$$\mathbf{S}^{-1}$$\mathbf{R}$

$$\begin{align} \mathbf{(RS)S}^{-1} &= \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02}\\ a_{10} & a_{11} & a_{12}\\ a_{20} & a_{21} & a_{22}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_0 & 0 & 0\\ 0 & s_1 & 0\\ 0 & 0 & s_2 \end{bmatrix}^{-1} \\ &= \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02}\\ a_{10} & a_{11} & a_{12}\\ a_{20} & a_{21} & a_{22}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/s_0 & 0 & 0\\ 0 & 1/s_1 & 0\\ 0 & 0 & 1/s_2 \end{bmatrix} \end{align}$$

因此（$\mathbf{(RS)S}^{-1} = \mathbf{RI} = \mathbf{R}$）：

$$\mathbf{R} = \begin{bmatrix} a_{00}/s_0 & a_{01}/s_1 & a_{02}/s_2\\ a_{10}/s_0 & a_{11}/s_1 & a_{12}/s_2\\ a_{20}/s_0 & a_{21}/s_1 & a_{22}/s_2\\ \end{bmatrix}$$

这是最终的旋转矩阵。您可以使用多种方法进一步分解它。不再冗长，但您可以搜索分解旋转矩阵。

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该方法仅给出平移，缩放和旋转形式的等效值（原始矩阵可能是其他类型的转换的结果）。如果您进一步使用分解角度，则旋转角度的浮点精度可能会出现问题，在计算中可能会累积舍入误差。除非您自己没有构造矩阵，否则不要使用它。

$\mathbf{t}$$\mathbf{s}$$\mathbf{r}$$\mathbf{TRS}$