点变换和向量变换有什么区别？

这是我的讲师在课程中告诉我的：

我们仅考虑4 * 4矩阵。这些用于旋转，缩放或平移对象（或这些操作的任意组合）。稍后还将在虚拟相机模型的实现中使用矩阵。如果您不知道矢量变换和点变换之间的区别，请查找它。

我似乎无法仅为这个问题找到答案并为此网站注册了一个帐户。

这是简单的答案。

在4D中，为了能够将它们乘以4x4矩阵，向量表示为（x，y，z，0），点表示为（x，y，z，1）。

由于4x4矩阵的第4行代表矩阵的平移，因此上述表示使点受平移影响，而矢量不受此影响。

矢量和点都受旋转，缩放等影响。

警告：

如果您期望向量具有某些属性，则需要进行更深入的讨论。例如，如果您用与变换三角形顶点相同的矩阵来变换三角形的法线，则实际上它可能不再是该三角形的法线向量。这是因为法向向量与其从其计算的顶点具有某种反比关系。

从我所学到的，因为我也是一个学生，所以你想使用矩阵，以便以相同的方式处理旋转，缩放和平移，即乘以一个矩阵（即，一个 ×矩阵）。4 × $4 \times 4$$4 \times 4$

请记住，如果没有这 x矩阵，则平移将通过与矢量求和来表示，而旋转和缩放则分别使用与矢量和标量因数的乘法来表示。$4 \times 4$

现在的问题是：我们如何从3D坐标系传递到4D坐标系？答案是“ 同质坐标 ”。

那么，这是什么意思呢？我们构造矩阵来表示旋转，缩放和平移，因此我们仅使用矩阵乘法来表示变换（例如，旋转，缩放等）。我们是如何单独构建它们的，更具体些，但是您可以在网络上查看它。$4 \times 4$

在这一点上，我们有矩阵和3D向量，这还没有用，因为您不能将矩阵和向量相乘，因为尺寸不匹配。这就是为什么当我们使用原始坐标时，我们还需要将给定的3D点转换为相应的4D点。$4 \times 4$3 $4 \times 4$$3D$

我们该怎么做呢？

我们区分方向和位置向量。顾名思义，方向向量具有指向的方向。我们也关心它们的长度，但是它们不受翻译的影响，因为我们不在乎它们的位置。位置向量（或简称为“点”）可以平移或移动。它们通常相对于原点表示，即作为从原点到点本身的向量。

我们通过添加作为对应的齐次矢量的第个坐标来变换3D方向矢量：我们添加一个0，因为这基本上消除了平移的影响。我们对位置矢量进行了类似的操作，但是由于相反的原因，我们添加了而不是。4 0 $0$$4$$0$$1$

例如，如果我们有一个方向矢量，则可以通过执行。同样，如果我们有一个点矢量我们会将其转换为v = （v 1 v 2 v 3） v ' = （v 1 v 2 v 3 0） u = （u 1 u 2 u 3） u ' = （u 1 u 2 u 3 1$3D$$v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3\end{pmatrix}$$v' = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ 0\end{pmatrix}$$u = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3\end{pmatrix}$$u' = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ 1\end{pmatrix}$

注意：要从齐次坐标转换回对应的坐标，您不能简单地删除第坐标，除非它仍然等于（或分别为）。4 吨ħ 1 $3D$$4th$$1$$0$

如果您要查找向量和点的定义，则向量为：

量，例如速度，完全由大小和方向指定。 http://www.thefreedictionary.com/vector

重点是：

一个无量纲的几何对象，除了位置外没有其他属性。 http://www.thefreedictionary.com/point

因此，您可以说向量是带比例的方向，而点是位置。

因此，如果变换向量，则只需旋转和缩放即可。使用点也可以平移它（点的旋转和缩放围绕原点进行，因为它只是点本身无法旋转的位置）。

大多数情况下，矢量和点被放置在同一容器中，该容器具有4个分量。唯一的区别是w分量。如果w分量为0，则为方向。如果为1，则向量为点。

可以在矩阵本身中找到原因。它利用将4个分量与4x4矩阵相乘的向量相乘的方式。如果您不知道它是如何工作的，我建议您快速浏览一下。

大多数情况下，您使用4x4矩阵。正常的转换矩阵可能看起来像这样： （旋转和比例尺放在您可以说的3x3区域中，因此，仅用于旋转和缩放，也可以使用3x3矩阵，但是当进行平移时，我们需要第4列。）

$$\begin{bmatrix}rot+scale&rot+scale&rot+scale&translation\\rot+scale&rot+scale&rot+scale&translation\\rot+scale&rot+scale&rot+scale&translation\\0&0&0&1\end{bmatrix}$$

如您所见，如果最后一个分量为0，则您将与0相乘，因此结果为0，并且没有转换。

这使得在带有多边形对象的计算机图形中变得容易。您可以使用相同的变换矩阵来变换位置，但也可以变换法线。因为法线的w分量设置为0，而位置的w分量为1，所以法线只是旋转（并缩放），这会导致一些奇怪的事情，因此在大多数情况下，法线在之后进行归一化。实际上，由于奇怪的东西，实际上建议使用相同的矩阵进行位置和旋转！请看@JarkkoL的注释。）然后转换位置（并围绕原点旋转和缩放比例）。

希望我没有记错：P，这对您有所帮助！