简单图的任何两个生成树是否总是具有某些公共边？

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我尝试了几种情况，发现简单图的任何两个生成树都有一些共同的优势。我的意思是到目前为止，我找不到任何反例。但是我也无法证明或反驳。如何证明或反驳这一猜想？

graphs graph-theory spanning-trees

— 西格玛先生。
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不，请考虑完整的图形 $K_4$ ：

它具有以下边缘不相交的生成树：在此处输入图片说明

— 比约恩·乔斯·汉森
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2

您可以通过将一棵树做成形而将另一棵树做成形来使每棵树成为平面。通过将从右上顶点到左下顶点的边缘绘制为一条超出正方形的曲线，可以使整个对象平面化。

N

$N$

Z

$Z$

— 累计

@kelalaka我们不需要完整的图形，不需要（想象一下在上做同样的事情－除非我错过了我的猜测，否则您有一些未使用的边可以删除，从而使其不再完整（因为每个顶点需要连接2到4个遍历的边，并且每个顶点都有5个可用边，因此每个顶点至少连接到一个未使用的边）。可能只是最好的例子-它是众所周知的，易于可视化（相对较少的边缘），并且具有非常简单的生成树。

K_{5}

$K_5$

K_{5}

$K_5$

K_{4}

$K_4$

— 基金莫妮卡的诉讼

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对于更感兴趣的读者，有一些关于将图分解为边不相交的生成树的研究。

例如，经典论文《WT Tutte 将图分解为连通因子的问题》 $n$ 和C. 有限图的边不相交生成树的问题。St.JANash-Williams提供了包含成对边不相交的图的特征。生成树。 $k$

例如，达利博尔·弗朗切克（Dalibor Froncek）在论文中将完整图双循环分解为生成树，展示了如何将完整图分解为同构生成树。 $K_{4k+2}$ ${2k+1}$

例如，PetrKovář和Michael Kubesa撰写的论文将完全图分解为具有所有可能的最大程度的生成树，显示了如何将分解为具有给定最大程度的生成树。 $K_{2n}$

您可以搜索更多。例如，谷歌搜索将图分解为生成树。

— 杰克
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编辑：这是不正确的，如注释中指出。就像另一个答案说的那样，无需共享边即可完成的生成树。 $K_4$

不，图的任何两个生成树都具有公共边并不正确。

考虑轮图：

您可以创建一棵生成树，其边缘在循环的“内部”，而边缘在循环的外部。

— 古库尔
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3

但外部循环未到达中心节点

— 上午

没错，我将删除此答案，因为其他答案就足够了。

— Gokul

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您可以通过减去一些“和弦”加一些“半径”及其补码的外循环来进行修改。

— boboquack

是。其实我只是看过这种方式。@boboquack

— 西格玛先生。

3

观察@Bjorn和@Gokul给出的图后，我得出的结论是，每个具有完整图至少有两棵不相交的生成树。 $K_n$ $n\geq4$

图片中给出的图形是wheel，显然有两棵不连贯的生成树。实际上，每个轮子将恰好有 生成树，它们的边缘不相交，因为一个是另一个的补图。 $2$

现在，如果我们仔细查看@Bjorn的解决方案，我们会发现他的图和生成树与图片中所示的图是同构的。事实上，每一个完全图与具有车轮作为其子图，所以它直接跟随，与每个完成的完全图具有至少2（或恰好？）跨越与不相交的边的树木。 $K_n$ $n\geq4$ $n\geq4$ $2$

PS：此观察结果产生了更有趣的问题。 $2$

是否有完整的图，其中包含超过边缘不相交的生成树？否则它将始终具有恰好边缘不相交的生成树。 $2$ $2$
除了wheel或wheel作为其子图具有不连贯边缘的生成树之外，是否还有其他图？

— 西格玛先生。
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我引用的论文已经回答了这些问题以及以后的问题。如果您有兴趣，可以看看。

— Apass.Jack

谢谢@ Apass.Jack我已经看到了你的答案。会看的。

— 西格玛先生。

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对于，我相信 $K_{2k}$

G_{1} = {(v_{2 i}, v_{2 i + 1}), (v_{2 i}, v_{2 i + 2}), \dots, (v_{2 k - 2}, v_{2 k - 1})},

$G_1 = \{ (v_{2i},v_{2i+1} ),(v_{2i},v_{2i+2}),\dots,(v_{2k-2},v_{2k-1})\},$

G_{2} = {(v_{2 i + 1}, v_{2 i + 2}), (v_{2 i}, v_{2 i}), \dots (v_{2 (k - 1)}, v_{2 (k - 1)})}

$G_2 = \{ (v_{2i+1},v_{2i+2}),(v_{2i},v_{2i}),\dots(v_{2(k-1)},v_{2(k-1)})\}$

对于是反例。也就是说，对于第一个图形，采用具有偶数索引的顶点并将其连接到下一个顶点，对于除最后一个偶数顶点之外的所有顶点，也将其连接到该顶点之后。对于第二张图，请对奇数顶点执行此操作。 $0\leq i < k$

归纳地讲，一旦我们有了个顶点的反例，就可以通过将一个图的一个边与另一个边的另一边相连来构造具有个顶点的反例。 $n$ $n+1$

— 积累
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如果图具有桥（即，其移除使图断开连接的边），则该边必须属于每个生成树。直观地讲，桥是连接其两个端点的唯一边，因此必然属于每个连接的子图。

另一方面，如果图的边缘属于一个循环，则存在不包含该边缘的生成树。

因此，如果图的每个边都属于一个循环，则所有生成树都不会共有边（即，生成树的边集的交集是空集）。

— 2019年
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