分支定界说明

我对分支和绑定算法进行了测试。我从理论上理解了该算法的工作原理，但是找不到能说明该算法如何实际实施的示例。

我发现了一些例子，如这一个 ，但我仍然感到困惑了。我也寻找旅行商的问题，我听不懂。

我需要的是一些问题，以及如何通过使用分支定界法来解决这些问题。

让我们将Branch and Bound应用于Knapsack，希望这会使您明白这个概念。

我们有项目，标记为1到n。v 我是的值我个项，和瓦特我其重量。我们尝试将它们装在一个背包中，该背包总共可容纳最多T的重量，并且尝试将放入背包中的物品的价值之和最大化。$n$$1$$n$$v_i$$i$$w_i$$T$

普通的回溯方法是我们的​​基础。我们首先将放入包中，然后通过递归解决其余n − 1项的问题。然后，从包装中删除v 1并再次解决其余n − 1项的问题，然后返回找到的最佳配置。$v_1$$n-1$$v_1$$n-1$

回溯是Branch and Bound的“分支”部分。您有两种情况（就背包问题而言）：“项目是解决方案的一部分”和“项目i不属于解决方案的一部分”。您可以将其可视化为二叉树，其中左子级是一种情况，右子级是另一种情况。该树是搜索树（或搜索空间）：其深度为n，因此具有O （2 n）个节点。因此，该算法的运行时间与项目数成指数关系。$i$$i$$n$$O(2^n)$

现在我们进入“绑定”部分：我们试图找到标准，以便我们可以说“此配置永远无法实现，因此我们也不必理会它”。这样的标准的一个例子是“我们已经放入背包的物品的重量超过 ”：如果我们向背包中添加了前n / 2个物品，因此它已经满了，没有点试图把项目ñ / 2 + 1通过对ñ在背包为好，但也有在努力适应的任何子集没有一点ñ / 2 + 1通过对$T$$n/2$$n/2+1$$n$$n/2+1$$n$在背包里，因为已经装满了，所以我们节省了大约箱。另一个例子是“ 即使我把所有剩余的物品都放进去，我放进去的物品的价值也不会超过我到目前为止找到的最佳配置 ”。$2^{n/2}$

这些条件实质上是切断了搜索树的一部分：例如，在某个节点上，“左子树不会为我提供更好的配置，因为X”，因此您会忘记该子树，而不会进行探索。这样切出的深度为的子树可以节省O （2 d）个节点，如果幸运的话，这可以大大提高速度。$d$$O(2^d)$

请注意，这被称为“ 边界 ”，因为它通常涉及某种下限或上限：对于准则“，即使我输入了所有其余项目，我输入的项目的价值也不会超过最佳配置到目前为止，我已经发现 '，到目前为止，最佳配置的值是最佳配置的下限，因此，永远不会超过该下限的任何事物注定会失败。

您可以根据需要使“边界”部分复杂。例如，整数编程问题通常是使用松弛来解决的：将程序松弛为线性程序，可以在多项式时间内求解，然后就可以丢弃很多情况，因为二进制变量永远都不会起作用。然后，您将转到其余选项。

请注意，Branch and Bound通常只会在实践中加快速度，而在理论上却不会：很难确切地说出使用启发式方法可以减少多少搜索树。实践中针对此类问题使用的不同启发式方法的数量证明了这一点。如果您不走运，即使有很多边界，其余的搜索树仍然很大。

考虑调度，这是将具有一定持续时间和期限的作业分配给计算机的任务。我们假设时间是离散的。许多此类问题都是NP（O）难题。

$1 \mid r_i \mid L_\max$

• 一台机器上
• 发布日期有问题，我们
• $L_\max$

该问题的决策版本是NP-hard；这可以从3PARTITION中减少看到。

有趣的是，如果我们允许抢占，即交换现役工作，则可以通过最早到期日优先启发式（在修改的到期日）以二次时间解决问题。不难看出，此变体的最优解不会比原始问题的最优解差。

现在，为了将Branch＆Bound应用于此问题，我们需要修复一些参数：

• 我们通过允许抢占和使用EDD来计算下限。
• 我们通过将所有未计划的工作固定为下一个分支来进行分支。
• 我们首先去寻找下限较小的孩子。

您必须针对B＆B的每个应用程序执行此操作。

$1 \mid r_i \mid L_\max$

$\qquad \displaystyle \begin{array}{c|cccc} i & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline p_i & 4 & 2 & 6 & 5 \\ r_i & 0 & 1 & 3 & 5 \\ d_i & 8 & 12 & 11 & 10 \end{array}$

$p_i$$r_i$$d_i$

执行上面指定的B＆B，会发生以下情况：

_{此GIF不会循环播放。将其重新加载到新标签中，从头开始查看。}
^{[ 来源 ] [ 静态版本 ]}

请注意，在41个节点中，只有四个被正确访问，并且仅十个节点计算了下限。