求出GCD = 1的最小子集的大小

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这是2012年波兰大学生程序设计比赛的练习部分出现的问题。尽管我可以找到主要比赛的解决方案，但似乎在任何地方都找不到该问题的解决方案。

的问题是：给定一组的 $N$ 不同的正整数不大于 $10^9$ 中，找到大小 $m$ 具有1以外没有公约数的最小子集的 $N$ 为至多500，并且可以假设的溶液存在。

$m \le 9$ $S$ $|S|=10$ $S$ $1 < g_1 < g_2 < ... < g_{10}$ $\gcd(g_i,g_j)=1$ $i \neq j$ $S$ $g_2g_3...g_{10}$ $g_2g_3...g_{10} \ge 3\times5\times7\times11\times...\times29=3234846615 > 10^9$ ，这是一个矛盾。

但是，即使这样，直接的蛮力仍然太慢。还有其他想法吗？

algorithms number-theory

— 若花
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Whay不能

g_{2} = 2

$g_2 = 2$ ？

— vonbrand 2013年

g_{2} > g_{1} \geq 2

$g_2 > g_1 \ge 2$ 。不能是1，因为9-子集不能具有为1的GCD

g_{1}

$g_1$

— Wakaka

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这个问题等效于以下问题，并且双向构造归约关系都很简单。

给定一个位向量列表，找到它们的最小数量，以使and所有结果均为。 $0$ $(*)$

然后，我们将集合覆盖率减小为。通过集合覆盖，我的意思是给定集合的列表，找到覆盖它们并集的最小集合数。 $(*)$ $S_1,\ldots,S_k$

我们将集合中的元素排序为。令，其中如果，否则为0。请注意，此函数是双射，因此具有反函数。 $a_1,\ldots,a_n$ $f(S) = (1-\chi_{a_1}(S),\ldots,1-\chi_{a_n}(S))$ $\chi_x(S) = 1$ $x\in S$

现在，如果我们在上求解，则解决方案是，然后是设置封面的解决方案。 $(*)$ $f(S_1),\ldots,f(S_k)$ $\{ f(S_{b_1}),\ldots,f(S_{b_m})\}$ $\{ f^{-1}(S_{b_1}),\ldots,f^{-1}(S_{b_m})\}$

因此，我认为这个问题正在测试一个人修剪搜索空间的能力。

— 徐超
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您如何找到最小的顶点覆盖率？

— Yuval Filmus

哦，nvm这个解决方案，它被设置为封面。

— 赵超

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是的，但是我在想也许我们可以利用这种特殊情况的某些属性。例如，在这种情况下，集合都非常大，大小不小于。实际上，如果集合中的数字都很小，那么它们的大小将更大。此外，我们绝对可以找到涵盖所有内容的9套产品。无论如何，您如何建议我缩小搜索范围？

n - 9

$n-9$

— Wakaka 2013年

我看不出问题（*）等同于问题中给出的问题。一方面，问题中给出的问题可以保证所有整数均为，这对应于保证问题（*）中不出现的位向量的权重。

\leq 10^{9}

$\le 10^9$

— DW

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通过计算所有成对的gcd，删除重复项然后递归，可以相对有效地解决此问题。这是在重复执行之前删除重复项的操作，这样可以提高效率。

我将在下面更详细地说明该算法，但首先，它有助于定义二进制运算符。如果是正整数集，则定义 $\otimes$ $S,T$

S \otimes T = {gcd (s, t) : s \in S, t \in T} .

$S \otimes T = \{\gcd(s,t) : s \in S, t \in T\}.$

注意和（在您的问题中）; 通常，甚至会小于上述两个界限中的任何一个，这有助于提高算法的效率。还要注意，我们可以用计算通过简单的枚举进行gcd操作。 $|S \otimes T| \le |S| \times |T|$ $|S \otimes T| \le 10^9$ $S \otimes T$ $S \otimes T$ $|S| \times |T|$

使用该符号，这里是算法。令为数字输入集。计算，然后计算，然后，依此类推。找到最小使得但。然后，您知道最小的此类子集的大小为。如果您还想输出此类子集的具体示例，则通过保留反向指针，可以轻松地重构此类集。 $S_1$ $S_2 = S_1 \otimes S_1$ $S_3 = S_1 \otimes S_2$ $S_4 = S_1 \otimes S_3$ $k$ $1 \in S_k$ $1 \notin S_{k-1}$ $k$

这将是相对有效的，因为中间集的大小都不会增长到以上（实际上，它们的大小可能会小得多），并且运行时间大约需要 gcd操作。 $10^9$ $500 \times (|S_1| + |S_2| + \cdots)$

这是一种优化，可以进一步提高效率。基本上，您可以使用迭代加倍来找到最小的，使得中的。特别是，对于每个元素，我们跟踪的最集，其gcd为，大小为。（当删除重复项时，您将较小的子集来解决关系。）现在，与其计算九个集合的序列计算五个集合的序列，通过计算，然后，然后 $k$ $1 \in S_k$ $x \in S_i$ $S_1$ $x$ $\le i$ $S_1,S_2,S_3,S_4,\dots,S_9$ $S_1,S_2,S_4,S_8,S_9$ $S_2 = S_1 \otimes S_1$ $S_4 = S_2 \otimes S_2$ $S_8 = S_4 \otimes S_4$ ，然后。转到时，找到第一个使得。一旦你找到使得，您可以立即停止：你能找到的最小的子集，其最大公因数通过查看相关联的子集。因此，您可以在达到设置为中的立即停止，如果找到较小的子集，则可以尽早停止。 $S_9 = S_1 \times S_8$ $k \in [1,2,4,8,9]$ $1 \in S_k$ $k$ $1 \in S_k$ $1$ $1$ $S_k$ $1 \in S_k$

这应该是省时和省空间的。为了节省空间，对于每个元素，您都不需要存储整个集合：足以存储两个反向指针（因此，您将gcd的的两个元素用于获取）和可选地，相应子集的大小。 $x \in S_k$ $S_i,S_j$ $x$

原则上，您可以用任何其他加法链替换序列。我不知道其他加法链是否会更好。最佳选择可能取决于正确答案的分布以及集合的预期大小，这对我来说并不明确，但可能可以通过实验根据经验得出。 $[1,2,4,8,9]$ $S_k$

鸣谢：感谢KWillets提出了将数字子集与每个元素一起存储的想法，该想法允许提前停止。 $S_i$

— DW
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我认为二进制搜索不是必需的；您可以在每个gcd中存储元素计数，并将其设置为每次加倍时的最小对和。

— KWillets

好点，@ KWillets！谢谢你的好主意！我已将其合并到我的答案中。

— DW

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也许可以用另一种方式更快地查看它……小于的最大素数是31607，在2到31607之间的总数为3401个素数，不是一个很大的数。写下在质数上得到充分分解的每个数字，直到31607：这里是1或大质数。然后，如果相应的向量是线性独立的（且它们的 s不同或均为1），则的集合就相对质数，并且您正在寻找矩阵的秩。 $\sqrt{10^9}$

a_{i} = p_{1}^{n_{i 1}} p_{2}^{n_{i 2}} \dots P_{i}

$a_i = p_1^{n_{i 1}} p_2^{n_{i 2}} \ldots P_i$

P_{i}

$P_i$

a_{i}

$a_i$

n_{i j}

$n_{i j}$

P

$P$

— 冯布兰德
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与线性独立性有什么关系？向量和是线性独立的，但是当我们想要时，GCD为。

(1, 1)

$(1,1)$

(1, 0)

$(1,0)$

(1, 0)

$(1,0)$

(0, 0)

$(0,0)$

— Yuval Filmus 2013年

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线性独立性似乎不起作用，但是我们可以以其他方式使用这种素分解。对于每个质数（在并且最多），将集合定义为所有不包含作为因数的数字（在给定集合中）的集合。现在的问题是找到数字的最集，使得对于每个，。这是命中布景问题，等同于布景问题。这是完成的，但是可能有一些实现足够快的实现。

p

$p$

3401

$3401$

p_{i}

$p_i$

500

$500$

P_{i}

$P_i$

A_{p}

$A_p$

p

$p$

B

$B$

A_{p}

$A_p$

| A_{p} \cap B | \geq 1

$|A_p \cap B| \geq 1$

N P

$NP$

— polkjh 2013年

您能指导我一些可行的实现吗？到目前为止，我只能找到近似算法。谢谢！

— Wakaka 2013年

本调查报告同时研究了近似和精确的解决方案。回复评论时，请在评论中添加@ name-of-person。它将向该人发送通知。否则，他们甚至可能永远不会知道您的评论。

— polkjh

-1

如果您能够找到gcd（S）= 1的子集，那么我总是可以从该子集中删除冗余元素，直到仅剩下2个元素，它们的gcd（S）=1。因此，我可以断言最小的一个子集将包含2个元素，否则将不存在。

现在，我们使用递归来解决此问题。让我们将数字数组分为2部分，一个包含n-1个元素，一个包含1个元素（最后一个元素）。这两个数字要么在前n-1个元素中，要么从第一个部分与最后一个元素成对出现一个元素。因此，我们能够解决这个问题

T（n）= T（n-1）+ O（n）时间。这意味着T（n）= O（n ^ 2）。

— 普拉蒂克
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gcd (6, 10, 15) = 1

$\gcd(6,10,15)=1$ 。您可以删除哪个元素？

— 瑞克·德克