从任何基数转换为任何基数而不经过基数10的背后的数学运算？

我一直在研究从任何基础转换为任何基础的数学运算。这比确认我的结果更重要。我在mathforum.org上找到了我的答案，但是我仍然不确定我是否正确。我可以从较大的基数转换为较小的基数，因为这只是将第一位数字乘以要添加下一位数字重复的基数即可。我的问题是从较小的基数转换为较大的基数时出现的。在执行此操作时，他们会讨论如何将所需的较大基准转换为较小的基准。一个例子是从4到6的基数，您需要将数字6转换为4到12的基数。然后执行与从大到小转换时相同的操作。我遇到的困难是，似乎您需要知道另一个数中的一个。因此，我需要知道4中的6是什么。这在我脑海中产生了一个大问题，因为那时我需要一个表。有谁知道以更好的方式做到这一点的方法。

我以为基本转换会有所帮助，但找不到任何有效的方法。从我发现的站点来看，它似乎允许您从基数转换为基数，而无需经过10底，但是您首先需要知道如何将第一个数字从基数转换为基数。这使得它毫无意义。

评论员说我需要能够将字母转换为数字。如果是这样，我已经知道了。但是那不是我的问题。我的问题是为了将大基数转换为小基数，我需要先将我拥有的基数转换为所需的基数。这样做我无法达到目的，因为如果我能够将这些碱基转换为其他碱基，那么我已经解决了我的问题。

编辑：我已经找到了如何从小于或等于10的基数转换为小于或等于10的其他基数的方法。我也可以从大于10的基数转换为小于等于10的任何基数。当从大于10的基数转换为大于10的基数时，或者从小于10的基数变为大于10的基数时，问题就开始了。我不需要代码，我只需要它后面的基本数学即可。适用于代码。

对我来说，这是一个非常基本的问题，对不起，请教一下。对您而言，最重要的一点是数字不是数字表示。数字是一个抽象的数学对象，而数字表示是一个具体的东西，即纸上的符号序列（或计算存储器中的位序列，或在传达数字时发出的声音序列）。令您感到困惑的是，您永远不会看到数字，而总是看到它的数字表示。因此，您最终认为数字是表示形式。

因此，要问的正确问题不是“如何从一个基数转换为另一个基数”，而是“如何确定给定的数字串代表哪个数字”和“如何找到一个数字的数字表示形式”。给定的数字”。

因此，让我们在Python中产生两个函数，一个用于将数字表示形式转换为数字，另一个用于相反的功能。注：当我们运行功能的Python当然会在屏幕上打印它在底座10获得，但数量但这并不意味着计算机在基地10号保持（它不是）。这是不相关的电脑如何呈现的数字。

def toDigits(n, b):
    """Convert a positive number n to its digit representation in base b."""
    digits = []
    while n > 0:
        digits.insert(0, n % b)
        n  = n // b
    return digits

def fromDigits(digits, b):
    """Compute the number given by digits in base b."""
    n = 0
    for d in digits:
        n = b * n + d
    return n

让我们测试这些：

>>> toDigits(42, 2)
[1, 0, 1, 0, 1, 0]
>>> toDigits(42, 3)
[1, 1, 2, 0]
>>> fromDigits([1,1,2,0],3)
42

有了转换功能，您的问题很容易解决：

def convertBase(digits, b, c):
    """Convert the digits representation of a number from base b to base c."""
    return toDigits(fromDigits(digits, b), c)

一个测试：

>>> convertBase([1,1,2,0], 3, 2) 
[1, 0, 1, 0, 1, 0]

注意：我们未通过基数10表示！我们将基本表示形式转换为数字，然后将数字转换为基本c。该数字没有任何形式。（实际上，计算机必须以某种方式表示它，并且确实使用芯片中发生的电信号和时髦的东西来表示它，但是肯定不是0和1。）$b$$c$

我认为理解这一点的最佳方法是与外星人进行讨论（至少作为一个类比）。

$x$$b$$x$$<b$

示例数字字符串10010011011是以2为底的数字，字符串68416841531是以10为底的数字，BADCAFE是以16为底的数字。

$q$$b$

$b$$b$$q$

$$\begin{array}{rcl} [\![\epsilon]\!] &=& 0 \\ [\![\bar s d]\!] &=& [\![\bar s]\!] \times b + d \end{array}$$

$\epsilon$$\bar s d$$d$

$b$$q$

$\times$$+$$q$$q$

---

$0123456789XYZ$$\alpha \beta \gamma \delta \rho \zeta \xi$

因此，我已经看过您的字母并对其进行制表：

$$\begin{array}{|c|c||c|c||c|c|} \hline 0 & \alpha & 1 & \beta & 2 & \gamma \\ 3 & \delta & 4 & \rho & 5 & \zeta \\ 6 & \xi & 7 & \beta\alpha & 8 & \beta\beta \\ 9 & \beta\gamma & X & \beta\delta & Y & \beta\rho \\ & & Z & \beta\zeta & & \\ \hline \end{array}$$

$\beta\xi$

$60Z8$

$$\begin{array}{rcl} [\![60Z8]\!] &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \beta \zeta (\beta\xi) + \beta\beta \\ \end{array}$$

$\beta \zeta \times \beta\xi$

Quux乘法表

$$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline \\ \times & \beta & \gamma & \delta & \rho & \zeta & \xi \\ \hline \beta & \beta & \gamma & \delta & \rho & \zeta & \xi \\ \gamma & \gamma & \rho & \xi & \beta\beta & \beta\delta & \beta\zeta \\ \delta & \delta & \xi & \beta\gamma & \beta\zeta & \gamma\beta & \gamma\rho \\ \rho & \rho & \beta\beta & \beta\zeta & \gamma\gamma & \gamma\xi & \delta\delta \\ \zeta & \zeta & \beta\delta & \gamma\beta & \gamma\xi & \delta\rho & \rho\gamma \\ \xi & \xi & \beta\zeta & \gamma\rho & \delta\delta & \rho\gamma & \zeta\beta \\ \beta\alpha & \beta\alpha & \gamma\alpha & \delta\alpha & \rho\alpha & \zeta\alpha & \xi\alpha \\ \hline \end{array}$$

$\beta \zeta \times \beta\xi$

$$\begin{array}{ccc} & \beta & \zeta \\ \times & \beta & \xi \\ \hline & \xi & \gamma \\ & \rho & \\ \beta & \zeta & \\ \hline \delta & \beta & \gamma \\ \gamma & & \\ \end{array}$$

所以我已经走了这么远

$$\begin{array}{rcl} [\![60Z8]\!] &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \beta \zeta (\beta\xi) + \beta\beta \\ &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \delta \beta \gamma + \beta\beta \\ \end{array}$$

现在，我需要使用前面提到的算法来执行加法运算：

$$\begin{array}{ccc} \delta & \beta & \gamma \\ & \beta & \beta \\ \hline \delta & \gamma & \delta \\ \end{array}$$

所以

$$\begin{array}{rcl} [\![60Z8]\!] &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \beta \zeta (\beta\xi) + \beta\beta \\ &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \delta \beta \gamma + \beta\beta \\ &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \delta \gamma \delta \\ \end{array}$$

$$[\![60Z8]\!] = \zeta\delta\xi\gamma\rho.$$

---

$q$$b$$q$

这只是Andrej代码的重构（Python 3）。在安德烈（Andrej）的代码中，数字是通过一列数字（标量）表示的，而在以下代码中，代码是通过从自定义字符串中提取的符号的列表来表示的：

def v2r(n, base): # value to representation
    """Convert a positive number to its digit representation in a custom base."""
    b = len(base)
    digits = ''
    while n > 0:
        digits = base[n % b] + digits
        n  = n // b
    return digits

def r2v(digits, base): # representation to value
    """Compute the number represented by string 'digits' in a custom base."""
    b = len(base)
    n = 0
    for d in digits:
        n = b * n + base[:b].index(d)
    return n

def b2b(digits, base1, base2):
    """Convert the digits representation of a number from base1 to base2."""
    return v2r(r2v(digits, base1), base2)

要在自定义基础中执行从值到表示的转换：

>>> v2r(64,'01')
'1000000'
>>> v2r(64,'XY')
'YXXXXXX'
>>> v2r(12340,'ZABCDEFGHI') # decimal base with custom symbols
'ABCDZ'

要将表示形式（自定义基础）转换为值，请执行以下操作：

>>> r2v('100','01')
4
>>> r2v('100','0123456789') # standard decimal base
100
>>> r2v('100','01_whatevr') # decimal base with custom symbols
100
>>> r2v('100','0123456789ABCDEF') # standard hexadecimal base
256
>>> r2v('100','01_whatevr-jklmn') # hexadecimal base with custom symbols
256

要从一个客户基础到另一个客户基础进行基本转换：

>>> b2b('1120','012','01')
'101010'
>>> b2b('100','01','0123456789')
'4'
>>> b2b('100','0123456789ABCDEF','01')
'100000000'

基本转换的基本操作是toDigits()@AndrejBauer答案的操作。但是，要使其成为数字，则无需在数字的内部表示中创建数字，这基本上是从2到2的转换。您可以在原始基本表示形式中进行所需的操作。

所以第一步是做重复的模除运算

def convertBase(n,original_base,destination_base):
    digits = []    
    while not is_zero(n):
        digits.insert(0,modulo_div(n,original_base,destination_base))
    return digits

由于内部表示是数字，因此必须提供一种特定功能来测试零

def is_zero(n):
    for d in n:
        if d != 0:
            return False
    return True

最终，我们必须在学校学习到，实际上是对modulo_div进行标准的除法运算。

def modulo_div(n,original_base,destination_base):
    carry = 0
    for i in range(len(n)):
        d = n[i]
        d+=original_base*carry 
        carry = d%destination_base 
        d=(d//destination_base)
        n[i] = d
        #print(i,d,carry)
    return carry

只需进行测试以验证代码是否正确：

print(convertBase([1,1,2,0], 3, 2))
#[1, 0, 1, 0, 1, 0]

print(convertBase([1, 0, 1, 0, 1, 0], 2, 3))
#[1, 1, 2, 0]

我知道进行基本转换的简单方法，不需要计算机程序。它是通过定义一种从任何基数转换为基数2的方法，反之亦然，然后先从第一个基数转换为基数2，再从基数2转换为另一基数，然后从一个基数转换为另一个基数。2很容易乘以或除以2。

要将任何基数转换为基数2，您所要做的就是识别任何数字，如果采用其基数2表示法，并从0开始，然后对于每个数字，则按从左到右的顺序按双精度顺序排列（如果该数字为零，如果该数字为1，则比加1加倍。现在给定任何基数的数字，您可以在该基数中除以2得到商和余数。如果余数为1，则最后一个二进制数字为1，如果余数为0，则最后一个二进制数字为0。再次除以2。如果余数为1，则倒数第二个数字为1，如果余数为0，则倒数第二个数字为0，依此类推，直到得到商0。

要将基数从2转换为任何基数，您所需要做的就是从该基数开始，从0开始，然后对于从左到右的每个二进制数字，如果该数字为0，则以该基数加倍，然后再加1如果该数字是1，则以底数为基础。

您可以从n转换为10，而无需转换为任何中间基数。

例如，要从n转换为9，可以采用将算法转换为10的算法，然后将“ 10”替换为“ 9”。其他任何基地都一样。