是否存在长度为6，大小为32和距离为2的二进制代码？

问题是证明或反对，st，的存在。 ; ; 。（代表汉明距离）$C$$|c| = 6,\forall c\in C$$|C| = 32$$d(c_i,c_j)\geq2,1\leq i<j\leq32$$d$

我试图构造一个令人满意的代码。我能得到的最好结果是让（的串联，其大小为恰好是该大小的理论上限，现在我不知道不知道下一步该怎么做才能解决问题。$C = C'\times C'$$C' = \{000,011,110,101\}$

是的，有这样一套。您实际上在正确的位置上可以找到以下示例。

令$C = \{c : |c|=6 \text{ and there are even number of 1's in c}\}$。您可以检查以下内容。

• $|C|=32$。
• $d(u,v)\geq2$对于所有$u,v\in C$，$u\not=v$。（实际上，$d(u,v)=2$或4或6。）

以下是四个相关练习，以难度递增的顺序列出。就像在问题中一样，仅涉及二进制代码。

练习1.给出另一个例子，说明一组32个单词的长度为6，且成对距离至少为2。

练习2。表明答案和练习1中只​​有两组。

练习3。将以上内容推广到任何给定长度和成对距离至少为2的单词。（提示，$32=2^{6-1}$）

练习4.如果（在尤瓦的回答说进一步一般化）$A(n,d)$是长度的代码的最大大小$n$和最小成对距离$d$，然后$A(d,2d)=A(n-1,2d-1)$。

来自具有$2^{n-1}$码字和最小距离$2$的线性码的所有奇偶校验字。

更一般地，如果$A_2(n,d)$是长度的代码的最大大小$n$和最小距离$d$，然后$A_2(n,2d) = A_2(n-1,2d-1)$。