CFG的正常形式（如Chomsky正常形式）的重要性

我知道无上下文语法可以用来表示无上下文语言，可能会有歧义。我们也有正常形式，例如Chomsky和Greibach正常形式。我不明白这个需要。

为什么它们在语言理论中很重要？我提到的所有教科书都讲述了这些正常形式，但没有说明其重​​要性。

至少有两个相关用途。

1. 证明的简单性
   围绕上下文无关的语法有很多证明，包括可归约性和自动机的等效性。这些越简单，您要处理的语法集就越严格。因此，此处的普通表格可能会有所帮助。

   $\varepsilon$$\varepsilon$

2. 启用解析
   尽管可以使用PDA解析任何语法的单词，但这通常很不方便。范式可以为我们提供更多可使用的结构，从而简化了解析算法。

   作为具体示例，CYK算法使用Chomsky范式。另一方面，Greibach范式可以进行递归下降解析。尽管可能需要回溯，但空间复杂度是线性的。

Chomsky范式使多项式时间算法可以确定语法是否可以生成字符串。如果您知道动态编程，则该算法非常精巧。

$I$$n$$A$$n$$n$

$A[i,j]$$G$$I(i,j)$

$A[1,n]$$S$$S$

def decide (string s,grammar G):
    //base case
    for i=1 to n:
        N[i,i]=I[i]    //as the substring of length one can be generated by only a
                       terminal.
    //end base case

    //induction
    for s=1 to n:       //length of substring
        for i=1 to n-s-1: //start index of substring
            for j=i to i+s-1:   //something else
                 if there exists a rule A->BC such that B belongs to N[i,j] and C
                 belongs to N[j+1,i+s-1] then add A to N[i,i+s-1]
    //endInduction

    if S belongs to N[1,n] then accept else reject.

我知道索引看起来很疯狂。但是基本上这是正在发生的事情。

$\epsilon$