最近N个数字的加权和

假设我们正在接收流中的数字。接收到每个数字后，需要计算最后数字的加权和，其中权重始终相同，但是是任意的。 $N$

如果允许我们保留数据结构来帮助计算，那么这样做的效率如何？我们能做得比更好的方法吗，即每次收到一个数字都重新计算总和？ $\Theta(N)$

例如：假设权重为。在某一点上，我们有最后数字的列表和加权和。 $W= \langle w_1, w_2, w_3, w_4\rangle$ $N$ $L_1= \langle a, b, c, d \rangle>$ $S_1=w_1*a+w_2*b+w_3*c+w_4*d$

当收到另一个数字，我们更新列表以获得，我们需要计算。 $e$ $L_2= \langle b,c,d,e\rangle$ $S_2=w_1*b+w_2*c+w_3*d+w_4*e$

使用FFT 的考虑通过使用快速傅立叶变换，可以有效解决此问题的特殊情况。在这里，我们计算出加权和的倍数。换句话说，我们收到数字，然后才能计算出相应的加权总和。为此，我们需要过去的数字（已经计算出总和）和新数字，总共数字。 $S$ $N$ $N$ $N$ $N-1$ $N$ $2N-1$

如果此输入数字向量和权重向量定义多项式和系数，而系数相反，则我们看到乘积为多项式，其系数从到恰好是我们寻求的加权和。可以使用时间中的FFT计算这些值，这为每个输入数字提供了时间的平均值。 $W$ $P(x)$ $Q(x)$ $Q$ $P(x)\times Q(x)$ $x^{N-1}$ $x^{2N-2}$ $\Theta(N*\log (N))$ $Θ(\log (N))$

但是，这并不是解决上述问题的方法，因为要求每次接收到新的数字时都必须有效地计算加权和-我们不能延迟计算。

algorithms data-structures online-algorithms

— 安布罗兹（Ambroz Bizjak）
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请注意，您可以在此处使用LaTeX。

— 拉斐尔

输入是否来自某些已知分布？它们具有有用的数学特性吗？如果他们不这样做，则不可能做到这一点（除非有人能够找到亚线性可计算的整齐的封闭形式，我当然找不到）。另外，近似值可以吗？如果这对您完全有用，那可能是一种方法。

— RDN

FIR滤波器可以做到这一点，因此它们的设计至关重要。

— adrianN

@RDN我是出于好奇而提出这个问题的，我没有实际的用途。

— Ambroz Bizjak

这是您的方法的详细说明。假设后续的值为零，则每次迭代，我们都会使用FFT算法计算时间卷积值。换句话说，我们正在计算其中是权重（或反向权重），是输入序列，是当前时间，和为。 $m$ $m$ $O(n\log n)$ $m$

\sum_{i = 0}^{n - 1} w_{i} a_{t - i + k}, 0 \leq k \leq m - 1,

$\sum_{i=0}^{n-1} w_i a_{t-i+k}, \quad 0 \leq k \leq m-1,$

w_{i}

$w_i$

n

$n$

a_{i}

$a_i$

t

$t$

a_{t^{'}} = 0

$a_{t'} = 0$

t^{'} > t

$t' > t$

对于以下迭代中的每个迭代，我们都能够计算所需的时间卷积（第个迭代需要时间）。因此，摊销时间为。通过选择可以将其最小化，它的摊销运行时间为。 $m$ $O(m)$ $i$ $O(i)$ $O(m) + O(n\log n/m)$ $m = \sqrt{n\log n}$ $O(\sqrt{n\log n})$

通过将计算分为几部分，我们可以将其改进为的最坏情况。修复，然后定义每个仅取决于输入，因此可以在时间进行计算。同样，给定对于，我们可以计算时间的卷积。因此，计划是维护列表对于每周期 $O(\sqrt{n\log n})$ $m$

b_{T, p, o} = \sum_{i = 0}^{m - 1} w_{p m + i} a_{T m - i + o}, C_{T, p} = b_{T, p, 0}, \dots, b_{T, p, m - 1} .

$b_{T,p,o} = \sum_{i=0}^{m-1} w_{pm+i} a_{Tm-i+o}, \quad C_{T,p} = b_{T,p,0}, \ldots, b_{T,p,m-1}.$

C_{T, p}

$C_{T,p}$

2 m

$2m$

O (m \log m)

$O(m\log m)$

C_{⌊ t / m ⌋ - p, p}

$C_{\lfloor t/m \rfloor-p,p}$

0 \leq p \leq n / m - 1

$0 \leq p \leq n/m-1$

O (n / m + m)

$O(n/m + m)$

C_{⌊ t / m ⌋ - p, p}, 0 \leq p \leq n / m - 1.

$C_{\lfloor t/m \rfloor-p,p}, \quad 0 \leq p \leq n/m-1.$

m

$m$ 输入，我们需要更新其中的。每次更新花费时间，因此，如果我们平均分配这些更新，则每个输入将占用。与计算卷积本身一起，每个输入的时间复杂度为。像以前一样选择，得到。

n / m

$n/m$

O (m \log m)

$O(m\log m)$

O ((n / m^{2}) m \log m) = O ((n / m) \log m)

$O((n/m^2) m\log m) = O((n/m) \log m)$

O ((n / m) \log m + m)

$O((n/m)\log m + m)$

m = \sqrt{n \log n}

$m = \sqrt{n\log n}$

O (\sqrt{n \log n})

$O(\sqrt{n\log n})$

— Yuval Filmus
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很棒的解决方案，谢谢，我不确定是否可以做到。

— Ambroz Bizjak

而且有效！C实现：ideone.com/opuoMj

— Ambroz Bizjak 2013年

嗯，我错过了实际上使它破坏计算的最后一部分代码，已在ideone.com/GRXMAZ处修复。

— Ambroz Bizjak

在我的机器上，此算法在大约17000权重下开始比简单算法更快。对于少量砝码，它很慢。基准测试：ideone.com/b7erxu

— Ambroz Bizjak

m

$m$

m = \sqrt{n \log n}

$m = \sqrt{n\log n}$

m

$m$