在图形上添加边时，最短距离会变化多少？

令 $G=(V,E)$ 是一些完整的，加权的，无向的图。我们通过从到一对一地增加边来构造第二个图。我们总共将边加到。 $G'=(V, E')$ $E$ $E'$ $\Theta(|V|)$ $G'$

每次我们添加一个边缘 $(u,v)$ 于 $E'$ ，我们考虑所有对之间的最短距离在 $(V, E')$ 和 $(V, E' \cup \{ (u,v) \})$ 。我们计算由于加而导致的最短距离变化了多少 $(u,v)$ 。让 $C_i$ 是变化的，当我们添加的最短距离的数量 $i$ 边数，令为总和。 $n$

有多大？ $C = \frac{\sum_i C_i}{n}$

由于，所以也是如此。这个界限可以改善吗？请注意，我将定义为所有相加边的平均值，因此，即使证明了，也没有那么有趣的一轮，因为距离变化很大。 $C_i = O(|V|^2)=O(n^2)$ $C=O(n^2)$ $C$ $C = \Omega(n)$

我有一种算法可以贪婪地计算几何t跨度，该算法可以在时间内工作，因此，如果为，则我的算法要比原始贪婪算法快，并且如果真的很小，其速度可能比最著名的算法快（尽管我对此表示怀疑）。 $O(C n \log n)$ $C$ $o(n^2)$ $C$

一些特定于问题的属性可能有助于确定界限：添加的边权重始终大于图中已存在的任何边的权重（不一定严格地更大）。此外，它的权重比和之间的最短路径短。 $(u,v)$ $u$ $v$

您可以假定顶点对应于2d平面中的点，并且顶点之间的距离是这些点之间的欧几里得距离。也就是说，每个顶点对应于平面中的某个点，并且对于边其权重相等至 $v$ $(x,y)$ $(u,v)=((x_1,y_1),(x_2,y_2))$ $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2.}$

— 亚历克斯·十·布林克
source

取两条由两条边连接的小集团。在团之间直接添加一条边会缩短最短路径的

。

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— 路易（Louis）

@Louis：是的，有一些示例，其中单个边导致距离发生很大变化，但是是否存在其中添加的每个边（或者至少是其中很多边）发生的图？这就是为什么我将

定义为所有边缘的平均值的原因：）

C

$C$

— 亚历克斯·十·布林克2012年

此图中可以添加的大多数边缘都是我所描述的类型...

— 路易（Louis）

@路易（Louis True）。尽管团包含

边，这比我将添加到图中的要多。

O (n^{2})

$O(n^2)$

— 亚历克斯十布林克

我之前也遇到过同样的问题，但是我的图有点像

的稀疏图

，我应该证明平均变化为O（1），但我不能这样做:-)。但是对于您的情况，我认为，如果您发现此问题与APSP解决方案之间的关系，则可以得到一些结果。

| E | = O (| V |)

$|E|=O(|V|)$

考虑以下具有节点，边缘和恶意选择的权重的线性链： $n+1$ $n$

example
^{[ 来源 ]}

显然，边缘可能已在其权重的顺序添加并有他们。加入虚线边缘（它是合法的）的所有对创建较短的路径与。作为 $n \in \mathcal{O}(|V|)$ $(u_i,b_j)$ $i,j = 1,\dots,k$ ，并假设，第一和最后一行包含每个许多节点和添加导致许多最短路径的变化。 $k \approx \frac{n}{4}$ $n \in \Theta(|V|)$ $\Theta(|V|)$ $\Theta(|V|^2)$

现在，我们可以“向外”移动，即在和之间添加权重为的下一条边，依此类推；如果将其继续到，则会导致总共最短路径变化。 $n+2$ $u_{k-1}$ $b_{k-1}$ $(u_1,b_1)$ $\Theta(|V|^3)$

$(c_1,c_2)$ $\approx n$ $\approx \sum_{i=1}^{n}i^2 \in \Theta(n^3) = \Theta(|V|^3)$

— 拉斐尔
source

这确实有效，此外，您的示例可以稍微更改为Euclidian。谢谢:)

— 亚历克斯十Brink