是否在检测“双重”算术级数3SUM困难？

这是受采访问题启发的。

我们给出一个整数数组并且必须确定是否有不同的使得 $a_1, \dots, a_n$ $i \lt j \lt k$

$a_k - a_j = a_j - a_i$
$k - j = j - i$

也就是说，序列和都在算术级数上。 $\{a_i, a_j, a_k\}$ $\{i,j,k\}$

有一个简单的算法，但是找到次二次算法似乎很困难。 $O(n^2)$

这是一个已知问题吗？我们可以证明这一点的3SUM难度吗？（或者提供次二次算法？）

如果愿意，可以假定，并且对于已知常数。（在面试问题中，）。 $0 \lt a_1 \lt a_2 \lt ... \lt a_n$ $a_{r+1} - a_{r} \le K$ $K > 2$ $K = 9$

algorithms complexity-theory lower-bounds

— 诺斯
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这是一个开放的问题。

通过改编Mihai Pătrașcu的STOC 2010论文“ 走向动态问题的多项式下界 ”，可以证明3SUM硬度的某种弱形式。首先，让我定义一系列密切相关的问题。每个问题的输入都是不同整数的排序数组。 $A[1..n]$

3SUM：是否有不同的索引使得？ $i,j,k$ $A[i] + A[j] = A[k]$
卷积3SUM：是否存在索引使得？ $i<j$ $A[i] + A[j] = A[i+j]$
平均值：是否存在不同的索引，使得？ $i,j,k$ $A[i] + A[j] = 2 A[k]$
卷积平均：是否存在索引使得？（这是您要问的问题。） $i<j$ $A[i] + A[j] = 2A[(i+j)/2]$

在我的博士学位论文中，我证明了所有这四个问题在决策树计算模型中都需要时间，该模型仅允许以下形式的查询：“是正，负或零？”，其中是实数（不取决于输入）。特别是，此模型中的任何3SUM算法都必须提出以下问题：“更大，更小还是等于？” 至少次。下限并不排除在更通用的计算模型中使用次二次算法-实际上，可以消除一些对数因子 $\Omega(n^2)$ $\alpha A[i] + \beta A[j] + \gamma A[k] + \delta$ $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ $A[i] + A[j]$ $A[k]$ $\Omega(n^2)$ 在各种整数RAM模型中。但是没有人知道哪种更通用的模型会更有效。

通过仔细的哈希缩减，Pǎtrașcu证明了，如果3SUM需要预期时间，对于任何函数，那么Convolution3SUM需要预计时间。因此，可以合理地说Convolution3SUM是“弱3SUM硬”。例如，如果Convolution3SUM可以在时间内求解，那么3SUM可以在时间内求解。 $\Omega(n^2/f(n))$ $f$ $\Omega(n^2/f^2(n\cdot f(n)))$ $O(n^{1.8})$ $O(n^{1.9})$

我没有详细介绍细节，但我敢打赌，一个并行参数暗示着，对于任何函数，如果Average需要期望时间，那么ConvolutionAverage需要预期时间。换句话说，ConvolutionAverage是“弱平均难度”。 $\Omega(n^2/f(n))$ $f$ $\Omega(n^2/f^2(n\cdot f(n)))$

不幸的是，不知道平均数是否（甚至是弱）3SUM！我怀疑平均实际上是不 3SUM硬，如果仅仅是因为下界平均是相当难以证明比下界3SUM。 $\Omega(n^2)$ $\Omega(n^2)$

你还询问其中相邻阵列元件相差小于某个固定整数的特殊情况下。对于3SUM和Average，可以使用如下所示的快速傅立叶变换在时间内解决此变体。（该观察结果归因于Raimund Seidel。） $K$ $O(n \log n)$

建立位向量，当且仅当整数出现在输入数组，。计算卷积的与自身在使用的FFT时间。当且仅当一对元素对总和为，所得数组的第个位置才具有非零值。因此，我们可以从时间的卷积中提取出总和的排序列表。从这里开始，很容易解决时间中的平均值或3SUM 。 $B[0..Kn]$ $B[i]=1$ $A[1]+i$ $A$ $B$ $O(Kn\log Kn) = O(n\log n)$ $j$ $A$ $2A[1] + j$ $A[i]+A[j]$ $O(n)$ $O(n)$

但是我不知道Convolution3SUM或ConvolutionAverage有类似的技巧！

— 杰夫
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