具有不同初始状态/接受状态的两个DFA接受的语言之间的差异？

最近，我问了一个关于Math SE 的问题。暂无回应。该问题与该问题有关，但涉及计算机科学的更多技术细节。

给定两个DFA和，其中状态集，输入字母以及和是相同的，初始状态和最终（接受）状态可以不同。令和分别为和接受的语言。B = （Q ，Σ ，δ ，q 2，F 2）A B L 1 L 2 A $A = (Q, \Sigma, \delta, q_1, F_1)$$B = (Q, \Sigma, \delta, q_2, F_2)$$A$$B$$L_1$$L_2$$A$$B$

有四种情况：

1. $q_1 = q_2$和。$F_1 = F_2$
2. $q_1 \neq q_2$和。$F_1 = F_2$
3. $q_1 = q_2$和。$F_1 \neq F_2$
4. $q_1 \neq q_2$和。$F_1 \neq F_2$

我的问题是

在情况2、3和4中，和之间有什么区别？L $L_1$$L_2$

我在这方面还有一个更具体的问题，

自动机的过渡单线态是输入字符串在状态集中产生的所有函数的集合。有关更多详细信息，请参见页面。过渡单面体可以看作是作用于状态集的单面体。有关更多详细信息，请参见此Wiki页面。

在许多文献中，当类半体动作是传递性的时，即始终存在从一个状态到另一状态的至少一个过渡（输入字符串），自动机被称为强连接。

如果和B是强连接的自动机，那么在上述情况2、3和4中L 1和L 2有什么区别？$A$$B$$L_1$$L_2$

有没有文献详细讨论这些问题？

我搜索了许多书籍和文章，但到目前为止没有发现任何帮助。我相信我还没有合适的关键词。因此，我正在寻求帮助。任何指针/引用将不胜感激。

由于是牢固连接的，因此如果q 1 ≠ q 2，则存在单词p 1，p 2，使得δ （q 1，p 1）= q 2和δ （q 2，p 2）= q 1。$A,B$$q_1\neq q_2$$p_1,p_2$$\delta(q_1,p_1)=q_2$$\delta(q_2,p_2)=q_1$

考虑壳体2，然后当且仅当p 2瓦特∈ 大号（乙），和X ∈ 大号（乙）当且仅当p 1 X ∈ 大号（甲）。因此，您可以添加前缀以在语言之间切换。$w\in L(A)$$p_2w\in L(B)$$x\in L(B)$$p_1 x\in L(A)$

考虑情况3，然后再考虑-最多通过那里的强连接话小号1，。。。，小号ķ使得对于每q 我 ∈ ˚F 1您有δ （q 我，š 我）∈ ˚F 2，并且类似地对于其它方向（从乙到甲）。$|F_1|$$s_1,...,s_k$$q_i\in F_1$$\delta(q_i,s_i)\in F_2$$B$$A$

因此，您可以编写后缀以在语言之间切换。

结合这些，您可以使用前缀和后缀来描述差异。例如，在情况4中，当且仅当p 1瓦特小号我在大号（甲）对一些š 我在预定的有限集合。$w\in L(B)$$p_1 w s_i$$L(A)$$s_i$

实际上，您甚至可以对这些单词说一些有趣的事情：将定义为DFA，其中q 1是初始状态，q 2是最终状态，然后在情况2中，您有L （B ）= L （C ）⋅ L （A ）（对于另一个方向类似）。$C$$q_1$$q_2$$L(B)=L(C)\cdot L(A)$

至于后缀，则涉及更多的事情，因为您无法预先确定最终的状态。我不知道你可以写为一个串联，但可以写，其中甲q是从DFA获得的阿地设置˚F = { q }，并且E q是从q开始且最终状态为F 2的DFA 。$L(B)=\bigcup_{q\in F_1}L(A_q)\cdot L(E_q)$$A_q$$A$$F=\{q\}$$E_q$$q$$F_2$

对于情况4，您可以将两者结合起来。

您可能会担心这不是一个真正的答案，而只是使用单词而不是状态来描述属性，但这是该领域的典型答案（类似于Myhill-Nerode定理）。