随机均匀采样完美匹配

假设我有一个图表与的完美匹配的（未知）组。假设这个集合是非空的，那么从随机地进行均匀采样有多困难？如果我对分布接近均匀但不太均匀的分布没问题，那有没有一种有效的算法？$G$$M(G)$$G$$M(G)$

Jerrum和Sinclair（1989）的经典论文是从密集图上采样完美匹配。耶鲁姆（Jerrum），辛克莱（Sinclair）和维哥达（Vigoda）的另一篇经典论文（2004; pdf）讨论了从二部图上采样完美匹配的方法。

这两篇论文都使用快速混合的马尔可夫链，因此样本几乎是均匀的。我认为很难进行统一采样。

如果您假设图形是平面的，则有一个针对此采样问题的多项式时间程序。

首先，对于平面图，计算完美匹配数的问题在P中。（https://en.wikipedia.org/wiki/FKT_algorithm）（关于这一事实的很好说明可以在Jerrum关于计数，采样和积分的书的第一章中找到。）

接着，对于各边缘的，计数的完美匹配的数目。这可以转化为均匀的完全匹配包含 -just除以的完全匹配的数量的概率。根据此概率对边缘进行采样，然后继续进行归纳。$e$$G$$G \setminus e$$e$$G$

（这是利用匹配是“可自我简化”的结构这一事实，因此计数问题和均匀采样问题本质上是相同的。有关此内容，您可以参见JVV“从均匀分布随机生成组合结构”）。观点看法。）

一个简单的证明，它给出了正确的分布：

令表示图的有序完美匹配数为有序序列。（这是乘以无序完美匹配的数量，）$c(H)$$H$$n!$$n = H/2$

令在此过程中选择的边序列。由于每个步骤都独立于前一步，因此选择此边缘顺序的概率为：$e_1, \ldots, e_n$

$\frac{ c(G \setminus e_1)}{c(G)} \frac{ c(G \setminus \{e_1, e_2\} )}{c(G \setminus e_1)} \ldots \frac{ c(G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}) }{c(G \setminus \{ e_1, \ldots, e_{n-2} \} )}$。

注意，，因为只是边缘。因此，该产品伸缩并离开。$c(G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}) = 1$$G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}$$e_n$$1 / c(G)$