一棵树的线性时间标记算法？

我有一棵无向的树，我要标记其顶点。叶节点应标记为一个。然后，假设叶子被去除了。在剩下的树中，叶子应标记为两片。该过程将以显而易见的方式继续进行，直到所有顶点都具有标签为止。我这样做的原因是我想将顶点存储在队列中，并“先离开”浏览它们。有没有简单的方法可以执行此时间？$O(n+m)$

我可以通过在每个步骤上进行BFS来解决该问题。但是在最坏的情况下，在我经过每个顶点的每一步中，都精确地移去两片叶子并将它们排队。我相信这需要二次时间。

另一个想法是首先找到所有叶子，然后对每个叶子进行BFS。这没有给我想要的解决方案。例如，考虑下图所示的一种“皇冠图”。显示了所需的解决方案，但是从每个叶子启动BFS只会导致使用两个标签。

理想地，线性时间算法也将易于解释和实现。

无根树木

您可以使用优先级队列在解决此问题：$O(E+V\log V)$

• 将所有顶点放在优先级队列中，其优先级是其度。
• 当队列为非空时：
  • 删除最低优先级的顶点，该顶点必须为（或最后为）。1 $v$$1$$0$
  • 令，其中遍历所有原始邻居。$\sigma(v) = 1 + \max \sigma(u)$$u$$v$
  • 从的唯一剩余邻居（如果有）的优先级中减去。$1$$u$

实际上，我们实际上并不需要优先级队列，并且可以使用时间为的简单队列来实现此算法：$O(E+V)$

• 使用所有顶点的度数初始化长度为的数组。$V$
• 用“ alive” 初始化另一个长度为数组。$V$
• 遍历第一个数组一次，并将所有度顶点推入队列。$1$
• 当队列为非空时：
  • 弹出一个顶点。$v$
  • 令，其中遍历所有原始邻居。$\sigma(v) = 1 + \max \sigma(u)$$u$$v$
  • 将标记为“死”。$v$
  • 如果具有一些“活动的”邻居，则从的度数中减去。$v$$u$$1$$u$
  • 如果的新度为，则将推入队列。$u$$1$$u$

植树

请改用DFS。这是该算法的示意图。

• 给定节点，如果是叶子，则设置。$v$$v$$d(v) = 1$
• 如果不是叶子，则对其所有子代运行该算法，然后令，其中遍历所有子代的集合。$v$$d(v) = 1 + \max d(u)$$u$

您在根上运行此算法。

一个简单的答案如下：

• 将其变为有向图，在该图中我们从每个节点到其父都有一条边。请注意，您将获得一个dag（有向无环图）。$(u,v)$$u$$v$

• 对图进行拓扑排序。

• 按排序顺序扫描顶点。用比其前代标签中最大的标签多一个标签。由于我们按拓扑顺序进行扫描，因此在尝试标记之前，所有前身都已经获得了标签。$v$$v$

每个步骤都可以在时间内完成，因此总运行时间为。我仅在您觉得从概念上比Yuval的答案更容易理解的情况下提及这种替代方法。$O(n+m)$$O(n+m)$