SK2演算是否是完整的基础，其中K2是翻转的K组合器？

具体地，如果我定义了一个新的$K_2$作为

我的猜测是“不”，只是因为我似乎无法从$S$，$I$和$K_2$组合器构造常规K 组合器，但是我没有可遵循的算法，也没有很好的算法用这些组合器制作事物的直觉。

好像你可以定义

我试图证明它在功能上不完整的尝试实质上是试图穷举构造可从这些组合器获得的每个功能，以表明无论使用哪种组合器，您都将达到死胡同（您之前已经看过的功能）。我意识到，对于功能上不完整的组合器集（例如，$K$组合器自身使用时，永远不会死胡同），这不一定是正确的，但这是我的最佳想法。我总是能够使用$S$组合器来偷偷摸摸地走出我认为最终是死路一条，因此我不再对这种方法的可行性感到不确定。

我在StackOverflow上问了这个问题，但被鼓励在这里发布。我收到了关于该帖子的一些评论，但不确定我是否正确理解它们。

奖励：如果不是一个完整的基础，那么生成的语言是否仍是图灵完整的？

将$S,K_2,I$演算的术语视为树（二进制节点代表应用程序，$S, K_2$叶子代表组合器）。

例如，术语$S(SS)K_2$将由树表示

        @
       / \
      /   \
     @    K2
    / \
   /   \
  S     @
       / \
      /   \
     S     S

将每一棵树的最右边的叶子与$T$关联起来，这是通过在每棵树上取得正确的分支而得到的@。例如，上面树的最右边的叶子是$K_2$。

从下面的ASCII技术可以看出，$S, K_2, I$演算中的所有归约规则都保留最右边的叶子。

         @                           @
        / \                         / \
       /   \                       /   \
      @     g    [reduces to]     @     @
     / \                         / \   / \
    /   \                       e   g f   g
   @     f                 
  / \
 /   \
S     e

      @
     / \
    /   \
   @     f    [reduces to]   f
  / \
 /   \
K2    e

从那里开始，很容易看到，如果某项$T$简化为$T'$，则$T$和$T'$具有相同的最右边的叶子。因此，在S ，K 2，I演算中没有项$T$使得T K 2 S减少为K 2。但是，K K 2 S减少为K 2，因此K不能用S ，K 2，I演算来表示。$S, K_2, I$$TK_2S$$K_2$$KK_2S$$K_2$$K$$S,K_2, I$

编辑：正如评论所指出的，这只是部分答案，因为它仅适用于简单类型的$S,K_2,I$演算（或者更确切地说，它表明不存在不包含K的K的可能定义。不良子项）。如果没有异议，我不会删除它，因为它为类型化设置提供了非常有效的证明技术。

回想一下，我们的组合器具有以下类型（Curry样式，因此$A,B,C$是可变的）：

• $K: A \rightarrow B \rightarrow A$
• $K_2: A \rightarrow B \rightarrow B$
• $S: (A \rightarrow B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C)$
• $I: A \rightarrow A$

根据库里-霍华德（Curry-Howard）的对应关系，如果我们可以用I ，S ，K 2表示$K$，那么希尔伯特式证明演算具有三个逻辑公理A → B → B ，（A → B → C ）→ （A → B ）→ （A → C ），A → A和一个推论规则（从A和A → B推论B）证明了公式$I,S,K_2$$A \rightarrow B \rightarrow B, (A \rightarrow B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C), A \rightarrow A$$A$$A \rightarrow B$$B$$A \rightarrow B \rightarrow A$。

但是我们可以给连接词→提供三值（values t,f,u）语义，这样公式A → B → B，（A → B → C ）→ （A → B ）→ （A$\rightarrow$$A \rightarrow B \rightarrow B$$(A \rightarrow B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C)$和$A \rightarrow A$得到t任何解释的价值。

A B | A -> B
t t | t
t f | f
f t | t
f f | t
t u | f
f u | t
u t | t
u f | f
u u | t

$K_2, S, I$tt$A \rightarrow B \rightarrow A$fu$A$t$B$$S, K_2, I$