有多个$O$表示法，例如$O(n)$或$O(n^2)$等。我想知道，实际上是否存在诸如$O(2n^2)$或$O(\log n^2)$，或者在数学上是不正确的。

或者说可以将$O(5n^2)$为$O(3n^2)$吗？我不能也不需要弄清楚运行时，也不需要改善任何事情，但是我需要知道这是否是您如何在现实中描述您的功能。

我想知道，现实中是否存在诸如$O(2n^2)$或$O(\log (n^2))$，或者这些变化在数学上是不正确的。

是的，$O(2n^2)$或$O(\log (n^2))$是有效的变体。

但是，如果您根本看不到它们，那么您将很少看到它们，尤其是在最终结果中。原因是$O(2n^2)$ 是 $O(n^2)$。同样，$O(\log (n^2))$ 为 $O(\log n)$。对于初学者而言，这可能令人惊讶。但是，这些相等性或多或少是引入大$O$表示法的原因，以掩盖通常难以确定且相对微不足道的可乘常数。

难道是一个正确的说，它是能够提高$O(5n^2)$的$O(3n^2)$？

这不是在所有的改进，如果一种算法的时间复杂度从改变$O(5n^2)$到$O(3n^2)$或从$\Omega(5n^2)$以$\Omega(3n^2)$，因为$O(5n^2)$是$O(3n^2)$而$\Omega(5n^2)$是$\Omega(3n^2)$。所以说时间复杂度从$O(5n^2)$到$O(3n^2)$是不正确的。当然，可以说算法的时间复杂度从$5n^2$提高到$3n^2$是正确的。

练习1.证明$O(5n^2)=O(3n^2)=O(n^2)$。

练习2。证明$O(\log n)=O(\log (n^2))$。

练习3.显示$\Omega(n^2+n)=\Omega(n^2)$。

$f(n)$$f(n)$$g(n)$$f(n)$

不必将Big Oh符号视为神秘的魔术，而必须咨询巫师询问您是否可以做某事，而应查看其定义。遵守定义，然后做任何您需要完成的工作。

$O(n) = O(2n)$

Big-O符号描述可伸缩性

从本质上讲，Big-O符号不是一种算法运行多长时间的描述。也没有描述算法执行多少步骤，代码行或比较。当用于描述算法如何随输入数量缩放时，它非常有用。

$O(\log n)$。对数以2为底，但这没关系-关系的核心是将列表乘以一个常数，只会给时间加上一个常数。

$n$$n$$O(n)$$O(2n)$$O(n)$

我很高兴看到许多这样的答案基本上都在告诉您自己通过阅读Big-O的定义得出这个结论。但是这种直觉上的理解使我花了相当长的时间来回想一下，所以我尽可能简单地向您展示。

$O(f)$$f$$g(n)=O(f(n))$$c$$g(n)\leq c\,f(n)$$n$$f$

$g(n)=O(f(n))$$g(n)=O(2f(n))$$g(n)\leq c\,f(n)$$n$$g(n)\leq \tfrac{c}{2}2f(n)$$g(n)=O(2f(n))$$c/2$

$\log n^2$$\log(n^2)$$2\log n$

$O$

查看O（f（n））的定义，您会看到例如O（2n ^ 2）和O（n ^ 2）完全相同。将算法从5n ^ 2更改为3n ^ 2操作可提高40％。从O（5n ^ 2）更改为O（3n ^ 2）实际上没有任何变化，它们是相同的。

再次，读取O（f（n））的定义。

$O(f(n)) = \lbrace g(n) | \exists n,c>0: \forall m > n: c\times g(m) \le f(m)\rbrace$

$=$$\in$

$O(n) = O(2n)$