对5个整数进行排序，最多7个比较

如何排序5个整数的列表，以便在最坏的情况下需要进行7个比较？我不在乎执行了多少其他操作。我对整数没有什么特别的了解。

我尝试了几种不同的分而治之方法，这些方法使我只能进行8次比较，例如遵循mergesort方法，或者将mergesort与使用二进制搜索来组合以找到插入位置，但是每次我得到8次结果时，都会比较最坏的情况。

现在，我只是在寻找提示，而不是解决方案。

algorithms sorting

您是否尝试过编写“比较”树？它有

叶子，每个叶子对应于整数的排列。如果您不知道“比较”树的意思，您是否知道需要进行

比较的证明？附言，是什么让您认为这是可能的？

5! = 120

$5! = 120$

n \log n

$n \log n$

— PAL GD

那么，在8位二进制补码，if(x > y)是一样的if((x - y) & 0x80)这几乎是一个比较。我想我们应该忘记这些对象是整数，并假设我们必须使用一些魔术compare(x, y)函数来比较这些对象...

— KarolisJuodelė2013年

“查阅《计算机编程艺术》第三卷中关于最佳排序的第5.3节（恰好涵盖了这个问题）是否算作提示或解决方案？:-)

— 史蒂文·斯塔德尼基

绑定的是真的

和

。因此有可能（原则上）。

2^{c} \geq n!

$2^c \ge n!$

5! = 120 < 2^{7} = 128

$5! = 120 < 2^7 = 128$

— vonbrand

相关：用最少的比较对数组进行排序

— Janus Troelsen

Answers:

只有一种方法可以启动此过程（对于以后要进行比较的几乎所有决定，只有一种正确的选择）。这是解决方法。首先，请注意，您可以获得可能的答案来进行比较，还有需要区分的不同排列。 $2^7 =128$ $5! = 120$

第一个比较很容易：您必须比较两个键，并且由于您对它们一无所知，因此所有选择都一样好。所以我们可以说你比较和，发现。现在，您剩下可能的答案，还剩下可能的排列（因为我们已经消除了一半）。 $a$ $b$ $a \leq b$ $2^6 = 64$ $60$

接下来，我们可以比较和，也可以将与第一次比较中使用的键之一进行比较。如果我们比较和，和学习，那么我们有其余的答案和个可能的排列。在另一方面，如果我们比较有，我们发现，我们有的剩余可能的排列，因为我们已经消除了的可能的排列（那些 $c$ $d$ $c$ $c$ $d$ $c \leq d$ $32$ $30$ $c$ $a$ $a \leq c$ $40$ $1/3$ ）。我们只剩下可能的答案，所以我们很不走运。 $c \leq a \leq b$ $32$

所以现在我们知道我们必须比较第一和第二个按键，以及第三和第四个按键。我们可以假设我们有和。如果我们比较到这四个键，通过我们在前面的步骤中使用的同样的理由，我们可能只消除的剩余排列的，我们很幸运的了。因此，我们必须比较两个键。考虑到对称性，我们有两个选择，比较和或比较和 $a\leq b$ $c \leq d$ $e$ $1/3$ $a,b,c,d$ $a$ $c$ $a$ $d$ 。类似的计数参数表明我们必须比较和。我们可以假设不失一般性的是损失，现在我们有和。 $a$ $c$ $a \leq c$ $a \leq b$ $a \leq c \leq d$

由于您要求提供提示，因此我将不讨论其余的论点。您还有四个比较。明智地使用它们。

— 彼得·索尔
source

您如何将

与

进行比较只能使您减少40个排列？

a

$a$

c

$c$

— 罗伯特·S·巴恩斯

@Robert：假设你有

和

。然后有两个与这些约束一致的

排列，

和

。对于这两个排列中的每一个，可以在四个位置添加

，在五个位置添加

。

a \leq b

$a \leq b$

a \leq c

$a \leq c$

a, b, c

$a,b,c$

a < b < c

$a < b < c$

a < c < b

$a < c < b$

d

$d$

e

$e$

— Peter Shor 2013年

您可以在D.Knuth撰写的《计算机编程艺术》第三卷中找到此方法，但是策略是这样的（我假设您拥有数组）：如果要提示阅读只是我回答的前两行 $\{a,b,c,d,e\}$

第一组数字对：。 $(a,b), (c,d)$
比较对以对它们进行排序，例如：。 $a<b, c<d$
比较对最小的元素，我们得到结果如。 $a<c$
比较最后一个元素和最后一个比较中的较大元素（c）
- 如果，很容易以3个剩余比较结束。完了 $e<c$
- 如果，则应使用知识c < e ，c < d对{ b ，c ，d ，e }进行排序。
  - ，如果 d < Ë然后
    - 如果 b > d，则为 C o m a a r e （b ，d ）
      - 。完了 $Compare(b,e)$
    - 如果
      - 。完了 $Compare(b,c)$
  - 如果
    - 如果 b > Ë
      - 。完了 $Compare(b,d)$
    - 如果
      - 。完了 $Compare(b,c)$

在与进行第一次比较之后，上述所有方式最多导致三个比较。（最多7个）。 $e$ $c$

— 乔治
source

您确定这是正确的吗？假设您得到以下结果：a <b，c <d，a <c，然后c <e，b <e，c <b和d <e。a <c <b <d <e和a <c <d <b <e的顺序都与它们一致。原因是从未对b和d进行隐式或显式比较。也许我在某个地方弄错了，如果是的话，请纠正我。

— 乔治，