给定一个弦图

如果图没有诱导出长度为4或更大的循环，则它是弦的。甲集团树Ť的ģ是一个树，其中该树的顶点的最大小集团ģ。T中的边对应于最小分隔符。在弦图中，不同的集团树的数量可以是顶点数量的指数。$G$$4$$T$$G$$G$$T$

的降低派系图表 是所有集团树的并集ģ。也就是说，它具有所有相同的顶点和所有可能的边。给定G的计算C r（G ）的复杂度是多少？$C_r(G)$$G$$C_r(G)$$G$

我想我曾经看过一个演示文稿，声称可以在O （m + n ）时间内计算而无需证明。这意味着它与计算G的集团树一样容易。是否有参考文献可以证实这一点，或者给出了较慢的算法来计算？$C_r(G)$$O(m+n)$$G$

复杂度为O（nm）...从G开始计算最大团并使其在图形H中成为顶点（最初没有边缘）...然后计算所有最小分隔符并按大小排序...选择最大分隔符如果C，C'都包含S并且位于H的不同连接部分中，则S并在H中使任意两个派系C，C'相邻（通过带有标签S的边将它们连接）（当然，这始终是正确的，但是待会再见）...然后选择下一个最大的分隔符并进行相同的操作...重复直到所有分隔符都被处理...结果图H是G的简化后的集团图...计算最大集团且最小分隔符为O （n + m）...有O（n）个小组和O（n）个分隔符...其余结构为O（nm），因为处理每个分隔符可能需要O（m）时间..... 。除非您可以解决以下问题，否则不能将其改善到O（n ^ 2）以下：给定一个图G，找到两个顶点u，v，使得N（u）包含N（v）...不知道后者具有O（n + m）解决方案...因此，不可能使用O（n + m）算法来计算简化的集团图。

参见M. Habib，J. Stacho的第5节，和弦图的叶子的多项式时间算法，见：算法-ESA 2009，计算机科学讲座笔记5757/2009，第290-300页。（http://www.cs.toronto.edu/~stacho/public/leafage-esa1.pdf）