Lambda微积分纯粹是语法吗？

我已经阅读了几周有关Lambda演算的信息，但是我还没有看到与现有数学函数有实质性区别的任何东西，我想知道这是否只是一种记号问题，或者是否有任何新的含义由lambda演算公理创建的属性或规则不适用于每个数学函数。因此，例如，我读过：

“可以有匿名函数”：Lambda函数不是匿名函数，它们全称为lambda。如果名称不重要，则可以用数学符号将相同的变量用于不同的功能。例如，Galois Connection中的两个函数通常都被称为*。

“函数可以接受函数作为输入”：可以使用普通函数来完成此操作。

“功能是黑匣子”：只是输入和输出也是数学函数的有效描述...

这似乎是一个讨论或自以为是的问题，但我认为应该对这个问题有一个“正确”的答案。我想知道lambda演算是否只是用于数学函数的符号或语法约定，或者lambda和普通函数之间是否存在实质性或语义上的差异。

具有讽刺意味的是，该标题是正确的，但并非以您似乎要说的方式出现，即“ lambda演算只是一种符号约定”是不正确的。

Lambda术语不是函数¹。它们是语法，即页面上的符号集合。我们有处理这些符号集合的规则，最重要的是降低了beta。你可以有多个不同的是lambda项对应的相同的功能。²

我将直接解决您的问题。

首先，lambda不是被重用的名称。这不仅会造成极大的混乱，而且我们不会编写（或），如果是函数的名称，我们将这样做，就像我们写。在我们可以将（如果由lambda项定义）替换为lambda项，产生类似含义，这意味着是可以表示函数的表达式，而不是声明一个函数的声明（名为$\lambda(x)$$(\lambda\ x)$$\lambda$$f(x)$$f(x)$$f$$(\lambda y.y)(x)$$(\lambda y.y)$$\lambda$或其他任何内容）。无论如何，当我们超载术语/符号时，（希望如此）可以通过上下文消除歧义，对于lambda术语肯定不是这种情况。

您的下一点是可以的，但有点无关紧要。这不是具有团队Lambda条款和团队职能的竞赛，只有一个可以获胜。lambda术语的主要应用是研究和理解某些种类的功能。多项式不是函数，尽管我们经常草率地识别它们。学习多项式并不意味着人们认为所有函数都应该是多项式，也不是多项式必须“做”一些“新的”事才值得研究的情况。

集合理论函数不是黑盒子，尽管它们完全由它们的输入输出关系定义。（从字面上看，它们是它们的输入-输出关系。）Lambda术语也不是黑盒，也不由它们的输入-输出关系定义。如前所述，您可以使用不同的lambda术语来产生相同的输入-输出关系。这也强调了一个事实，即lambda术语虽然可以诱发功能，但它们不是功能。²

实际上，多项式和lambda项之间的类推非常接近，我怀疑您可能不理解多项式与其表示的函数之间的区别，因此我将详细说明。³通常，当引入多项式时，通常使用实系数，它们被视为特定类型的实函数。现在考虑线性反馈移位寄存器（LFSR）的理论。它主要是的（单变量）多项式的理论，但是如果我们将其视为函数，则最多有这样的函数。但是，在有无限多个多项式。⁴$\mathbb F_2$ $\mathbb F_2\to\mathbb F_2$$4$$\mathbb F_2$看到这种情况的一种方法是，我们可以将这些多项式解释为函数以外的东西，实际上任何代数都可以。对于LFSR，我们通常将多项式解释为对比特流的运算，如果需要，可以将其表示为函数，尽管绝大部分此类功能都不在LFSR的解释图像中。$\mathbb F_2\to\mathbb F_2$$\mathbb F_2$$\mathbf{2}^{\mathbb N}\to\mathbf{2}^{\mathbb N}$

这也适用于lambda术语，我们可以将它们都解释为函数以外的事物。与通常不计其数的无限功能集相比，它们都是更易于处理的对象。它们都比任意函数具有更多的计算能力。我可以编写一个程序来处理多项式（具有至少可以计算得出的系数）和lambda项。实际上，无类型的lambda项是可计算函数的原始模型之一。通常对这种更具符号/语法，计算/计算角度的观点比对lambda演算的更多语义解释更为重视，尤其是对于无类型的lambda演算。已输入Lambda术语是更易于管理的事物，通常（但并非总是）可以轻松地解释为集合理论函数，但是与非类型的Lambda演算相比，除了函数之外，Lambda术语通常还可以解释为更广泛的事物。他们也有自己的丰富的句法理论和与逻辑的深厚联系。

¹该问题可能会以其他方式出现。也许您对功能是什么有误解。

²这实际上并不是那么简单。对于未类型化的 lambda演算，天真地将任意lambda项解释为集合理论函数实际上没有任何意义。当您尝试阐明解释的范围时，您可以开始看到这一点。如果我将lambda项解释为集合的元素，我也希望能够将其解释为上的函数，并将其解释为的函数，因为我想将应用程序解释为函数应用程序。您最终得到（或对此的弱化），这仅对单例集成立。我们需要的无类型lambda演算是一个反身对象$D$$D$$D$$D^D\subseteq D$，对于集合的类别，没有非平凡的反身对象。对于输入的 lambda而言，这个故事有很多不同，但仍然可以说是不平凡的。

³如果您清楚知道这种区别，则此类比应该可以提供很多信息。

⁴对于特征0的字段（例如复数，实数，有理数或整数），不会发生此问题，因此，这种区分虽然仍然存在，但没有那么尖锐。

考虑一下变量的概念。在像basic这样的旧语言中，您没有动态分配，并且每个变量都需要一个名称。（这不是完全准确的，因为您有数组，但是这个主意是...）在许多问题中，您需要能够分配所需数量的变量，而不受程序定义的名称数量的限制。

Lambda函数可让您摆脱对函数名称的相同限制，使您的程序可以定义所需数量的函数，并将它们“存储”在与其他变量相同的复杂数据结构中。使用常规的命名函数无法做到这一点。