用于括号匹配的二态图灵机

在大学里，我们一直在学习通用计算机和图灵机的计算理论。出色的理论结果之一是，以可能会变大的字母（符号）为代价，您可以将状态数减少到仅2个。

我一直在寻找不同图灵机的示例，并且提供的常见示例是括号匹配器/检查器。本质上，它检查一串括号(()()()))()()()是否是否平衡（例如，前面的示例将为不平衡返回0）。

尽我所能，我只能使它成为三态机。我想知道是否有人可以将其降低到理论上的最小值2，以及他们的方法/状态/符号是什么！

为了清楚起见，括号是“夹在”空白磁带之间的，因此在上面的示例中， - - - - - - - (()()()))()()() - - - - - - -将是磁带上的输入。该字母将包括(，)，1，0，-，和*halt*状态不能算作一个状态。

作为参考，我使用的三种状态方法如下：状态描述：

 State s1: Looks for Closing parenthesis

 State s2: Looks for Open parenthesis

 State s3: Checks the tape to ensure everything is matched

 Symbols: ),(,X

转换列为：

Action: State Symbol NewState WriteSymbol Motion

// Termination behavior
Action: s2 - *halt* 0  -
Action: s1 -  s3    -  r

//Transitions of TM
Action: s1 (  s1  (   l
Action: s1 )  s2  X  r
Action: s1 X  s1  X  l
Action: s2 ( s1 X  l
Action: s2 X  s2 X r
Action: s3 (  *halt* 0 -
Action: s3 X  s3     X r
Action: s3 -  *halt* 1 -

原谅将所有这些写下来的非正式方式。我仍在学习其背后的理论构造。

turing-machines context-free parsers

— Four_FUN
source

我们可以使用更大的字母吗？

— 拉斐尔

@Raphael根据理论结果，可以将状态交换为字母，反之亦然。因此，将状态减少到两个意味着您很可能必须使用更大的字母。所以是的，简短的答案是字母表可以根据需要

— 任意

我认为，在两盘磁带TM中，可以做到这一点而无需额外的符号。

— KarolisJuodelė2013年

@Four_FUN你来自麻省理工学院吗？

Answers:

只是Raphael回答的“源代码”纲要：这是一个使用相同技巧（在状态q1上）并且带有磁带字母的工作版本：（
_ ( ) [ { / \ 其中是初始空白符号） $\_$

q0:  _ -> accept  // accept on empty string and on balanced parenthesis
     ( -> {,R,q1  // mark the first open "(" with "{" and goto q1
     ) -> reject  // reject if found unbalanced ")"
     \ -> /,L,q0  // go left
     / -> \,R,q0  // go right

q1:  ( -> [,R,q1  // replace "(" with "[" and continue ...
     ) -> /,L,q1  // ... until first ")", replace it with "/" and goto left
     [ -> \,R,q1  // found matching "(" bracket, goto right and search for another ")"
     _ -> reject  // no ")" found for the first "{", reject
     { -> \,R,q0  // this must be the last match, goto q0 and check if it is true
     \ -> /,L,q1  // go left
     / -> \,R,q1  // go right

您可以使用图灵机在线模拟器在工作中看到它；源代码是：

0 _ Y r halt
0 ( { r 1
0 ) N r halt
0 \ / l 0
0 / \ r 0
1 ( [ r 1
1 ) / l 1
1 [ \ r 1
1 _ N r halt
1 { \ r 0
1 \ / l 1
1 / \ r 1

最后一点：如果您想了解如何将此技术推向极限，请阅读（并尝试理解:-）Y。Rogozhin在“小型通用图灵”中用2个状态和18个符号构成的通用图灵机的构造。机器”

— Vor
source

我们不是认为仅提供源代码的答案对计算机科学不利吗？;）

— 拉斐尔

@Raphael：我同意你的观点，但是可以像我的附录一样浏览我的（即使我没有检查细节，这也很好）。我将为此添加注释。

— 2013年

@Raphael：我只是为了好玩而编码，试图最小化磁带符号，并且它“似乎” :-)可以工作，所以我决定发布它。

— 2013年

@Vor。非常感谢您对这个问题的其他投入。这一切告诉我，我需要在这方面做更多的练习。感谢您不遗余力地发布源代码，即使我遵循的是理论。

— Four_FUN 2013年

@Four_FUN：Rogozhin Universal TM（2,18）是标准的图灵机（即，除了输入内容外，其初始磁带仅包含空白符号），可模拟任意的2标签系统（这是通用模型）。2状态3符号之一是一台薄弱的图灵机（初始磁带需要填充图案的无限序列），并且通用性得以“达到”，模拟了元胞自动机规则110（已证明这是图灵完成的））。有（声称？）证明标准TM（2,3）无法完成图灵处理。

— 2013年

愚蠢的答案：您的结果保证存在一台具有两种状态的通用图灵机。为Dyck语言构造任何 TM，计算其索引并将其硬编码到通用计算机中。

$\{\#,(,),x\}$ $\hat{a}$ $a$

$q_0$

$)$ $a$ $\hat{a}$ $)$ $\hat{x}$
$)$ $\#$ $\hat{x}$ $q_1$

$\hat{(}$ $\hat{(}$ $x$
$\hat{)}$ $\#$
$q_1$ $\hat{(}^+$ $\hat{x}$ $\#$ $\hat{x}$

这是正确的，因为机器由内而外地匹配。在法律意见书中，只有 $x$

— 拉斐尔
source

如果您不介意我问，我的解决方案将如何保证具有两个状态的通用 TM？（顺便说一句，非常聪明的解决方案。请输入您的

— 心声

@Four_FUN：因为您在问题中说：“ ...一个伟大的理论结果是，以潜在的大字母（符号）为代价，您可以将状态数减少到仅2 ...”。 ..这样您还可以选择一台任意的Universal Turing机器并将状态数减少到2。并且，如果您做一些实验，您还将意识到，进行将任意TM转换为等效TM 的自动过程并不困难。2状态TM（如果您不关心最小化字母符号的数量）。

— 2013年