将任意封面转换为顶点封面

给定一个平面图并令 $G=(V,E)$ $\mathcal{G}$ 表示其嵌入平面中，每个边的长度为。我还有一组点，其中中的每个点都包含在。此外，它适用于任何点在存在一个与到测地距离至多一个。（该距离被测量为内的最短距离。） $1$ $C$ $c \in C$ $\mathcal{G}$ $p$ $\mathcal{G}$ $c \in C$ $p$ $\mathcal{G}$

我想认为给予的量，上述条件成立时，我可以很容易地将其转换成一个顶点覆盖，或将不同的，它变成一个相同基数ST任何的被放置在在的顶点，和仍然覆盖。 $C$ $C'$ $c \in C'$ $\mathcal{G}$ $G$ $C'$ $G$

我的方法是确定边缘的方向，并在圆弧的端点处移动中的点。但是到目前为止，我还没有找到从产生的正确方向。 $C$ $C'$ $C$

有人有主意吗？

algorithms graph-theory set-cover

— 用户名
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我不太明白这个问题。“

”是什么意思？您如何精确测量距离？如果您是说

总是在一条边上，那么看来，如果将其放在任意一端，则每个与它的距离最大为

点（即两个端点）仍然与它的最大距离为

。对于任何方向。

p

$p$

G

$\mathcal{G}$

p

$p$

1

$1$

1

$1$

— Yuval Filmus 2013年

@Yuval Filmus

是约旦弧的绘图

，即子集

。

只是指该点具有被包含在附图中，而不只是在该平面的任何地方。距离以

的测地距离测量，即连接图中两个点的最短路径。最后一句话，以4个周期为准，在第一个和第三个边缘的中间放置两个点。这涵盖了整个图形，但是如果您现在在其顺时针顶点端点处移动一个点，而在其逆时针顶点端点处移动一个点，则不会覆盖

G

$\mathcal{G}$

G

$G$

\mathhbb R^{2}

$\mathhbb{R}^2$

p \in G

$p \in \mathcal{G}$

G

$\mathcal{G}$

— user695652 2013年

如果没有点正好位于的边的中点，则只需将中的每个点与的最近顶点关联即可。我将其留给读者练习以证明这一点（提示：通过矛盾证明）。 $C$ $\mathcal{G}$ $C$ $\mathcal{G}$

另一方面，如果允许中的点位于边的中点，那么我们可以提供一个反例： $C$

enter image description here

蓝线和圆圈是和红色的杂交是。 $\mathcal{G}$ $C$

编辑添加：具有双向图的示例

enter image description here

— h
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非常感谢您的反例。您是否同意，如果我们限制图是双向连通的，那么即使所有点都在中间，该主张还是正确的？

— user695652

我认为双向连接不会拯救您。我用一个新的例子编辑了答案。

— mhum

这是一个完全不同的问题。单独发布它可能很有意义。

— mhum 2013年

@mhum您是如何制作图形图片的？是否存在一些程序？

— Tacet 2015年

@Tacet我不记得我是怎么做到的。我认为第一个可能是MS Paint或GIMP。第二个可能是GIMP或Geogebra。

— mhum 2015年