减少到TSP的连续优化问题

假设我在平面上得到了一组有限的点，并要求通过绘制两次可微分的曲线，以使其周长尽可能小。假设和，我可以将这个问题形式化为：$p_1,p_2,..p_n$$C(P)$$p_i$$p_i=(x_i,y_i)$$x_i<x_{i+1}$

问题1（根据Suresh的评论进行编辑）确定 参数函数，使得弧长 最小化，其中，对于所有，我们有。$C^2$$x(t),y(t)$$t$$L = \int_{[t \in 0,1]} \sqrt{x'^2+y'^2}dt$$x(0) = x_1, x(1) = x_n$$t_i: x(t_i) = x_i$$y(t_i)=y_i)$

我如何证明（或反驳）问题1是NP问题？

为什么我怀疑NP硬度 假设假设是宽松的。显然，最小弧长的功能是的Traveling Salesman旅行。也许约束只会使问题变得更加困难？p 我Ç $C^2$$p_i$$C^2$

上下文在MSE上发布了此问题的变体。在那里和MO都没有得到答案。考虑到解决问题并非易事，我想确定问题的难度。

可分性要求不会改变问题的性质：要求（连续性）或（无限可分性）会赋予长度相同的下限，并且点的顺序，相当于解决了旅行商的问题。Ç $\mathcal{C}^0$$\mathcal{C}^{\infty}$

如果您有解决TSP的方法，则可以通过曲线来遍历所有点。相反，假设您有一条通过所有点的有限长度曲线，并令为它将遍历这些点，并且遍历相应的参数（如果曲线多次遍历一个点，则选择任何可能值）。然后根据分段构建曲线$\mathcal{C}^0$$\mathcal{C}^0$$p_{\sigma(1)}, \ldots, p_{\sigma(n)}$$t_1,\ldots,t_n$$t$$n$$[p_{\sigma(1)},p_{\sigma(2)}], \ldots, [p_{\sigma(n-1)},p_{\sigma(n)}], [p_{\sigma(n)},p_{\sigma(1)}]$较短，因为对于每个线段，直线都比连接该点的任何其他曲线短。因此，对于点的每个排序，最佳曲线是TSP解决方案，而TSP解决方案提供了点的最佳排序。

现在让我们展示一下，要求曲线为（或对于任何为）都不会改变点的最佳排序。对于总长度且任何任何TSP解决方案，我们都可以四舍五入每个角，即建立一个曲线，该曲线以相同顺序遍历点，并且长度为大多数（显式构造依赖于代数函数和来定义凹凸函数，并通过曲线段之间的平滑连接（例如来定义凹凸函数与$\mathcal{C}^{\infty}$$\mathcal{C}^k$$k$$\ell$$\epsilon > 0$$\mathcal{C}^{\infty}$$\ell + \epsilon$$e^{-1/t^2}$$e^{1-1/x^2} (x-e^{-1/(1-x)^2})$$y=0$在且在 ; 明确这些内容很繁琐，但它们是可计算的）；因此，曲线的下限与线段集合的下限相同（请注意，通常不会达到下限）。$x=0$$y=x$$x=1$$\mathcal{C}^{\infty}$