证明决定单调布尔公式可满足性的NP完备性

我正在努力解决这个问题，我真的很努力。

甲单调布尔公式是在命题逻辑式，所有的文字是正的。例如，

$\qquad (x_1 \lor x_2) \land (x_1 \lor x_3) \land (x_3 \lor x_4 \lor x_5)$

是单调布尔函数。另一方面，类似

$\qquad (x_1 \lor x_2 \lor x_3) \land (\neg x_1 \lor x_3) \land (\neg x_1 \lor x_5)$

不是单调布尔函数。

如何证明此问题的NP完整性：

如果变量或更少的变量设置为1，则确定单调布尔函数是否可满足？$k$$1$

显然，所有变量都可以设置为正，而这是微不足道的，因此这就是为什么要限制正设置变量的原因。$k$

我尝试将SAT转换为单调布尔公式。我尝试过的一件事是用虚拟变量替换每个负文字。例如，我试图替换与Ž 1，然后我试图迫使X 1和Ž 1是不同的值。我还不太能够使它正常工作。$\neg x_1$$z_1$$x_1$$z_1$

您正在考虑的问题的“父级”有时称为加权可满足性（WSAT，尤其是在参数化复杂性中）或最小一（尽管这通常是优化版本，但足够接近）。这些问题具有“最多将变量设置为true”的限制作为其定义特征。$k$

单调配方的限制实际上出乎意料地易于显示硬度，您只需要暂时解决可满足性问题。与其尝试修改SAT实例，不如从支配集（DS）开始。

看看是否可以从那里得到它。扰流板中有更多的东西，可以分成几部分，但如果可以的话，请避免使用。我不会显示NP的成员身份，您应该不会有任何问题。

$(G, k)$$k$$G$$(\phi,k)$$\phi$

基本构造：

$v\in V(G)$$v' \in \text{var}(\phi)$$v \in V(G)$$c_{v} = \bigvee_{u\in N(v)} u'$

证明草图：

$k$$k$$\phi$$k$$c_{v}$$v$

$z_i$$\neg x_i$$\phi$$\phi'$$\neg x_i$$z_i$$x_i \vee z_i$$k$$\phi'$$\phi$$k$$x_i \vee z_i$$\phi'$$k$$k$