两个周期中包含的最长周期

以下问题NP是否完整？（我认为是）。

输入： 一个无向图，其中边集可以分解为两个边不相交的简单循环（这些不是输入的一部分）。 $k \in \mathbb{N},G=(V,E)$

问题：是否存在长度大于的简单循环？ $G$ $k$

显然，问题出在NP上，的最大是，但这似乎无济于事。 $G$ $\leq 4$

graph-theory np-complete decision-problem

— 清单
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我认为“连接任何一对最多4条路径”是不对的。参见：i.imgur.com/mYL4n1V.png

— svinja

@svinja你是对的，我应该说在两个顶点之间，最多存在4个成对的边不相交的路径。

— 上市

您的标题具有误导性，因为最长的简单循环可能不是分解（在任何分解中）的两个循环中的任何一个。

E

$E$

— 丹尼斯

@dkuper它实际上可以看两个顶点不相交的简单循环的并集。

— 上市

我的意思不是说它永远不能成为其中之一，而是有时候它不是其中之一。因此，问题不在于找到两者中的更大者。

— 丹尼斯

Answers:

减少尝试....

图的最大阶数为3的图是汉密尔顿路径的归约法，即NPC [G＆J] $G = (V,E)$

忽略边缘的方向，并使用从任意节点进行的第一深度（无向）扫描，将的边缘划分为两组不同的（无向）路径（图中的红色和绿色）； $G$
连接红色路径，添加额外的“链接节点”（图B中的紫色节点），并建立无向红色电路；连接绿色路径，添加额外的“链接节点”（图中的紫色节点），并建立无方向的绿色电路；
变换每个原始节点入度1和2出度（图C），加入在入站黄色节点红色边缘，并加入在第一出站黄色节点红色边缘 ; 最后使用绕着的“包裹”路径将黄色节点“朝向”第二个出站绿色边缘，该路径接触了红色边缘的最外面的黄色节点（图D）。 $b \in V$ $k$ $a\to b$ $k$ $b \to c$ $k$ $b \to d$ $b$

在结果图中，仅可以通过图E和图F中所示的两种方式通过一条简单路径遍历所有黄色节点，这两种方式对应于原始节点的两个有效遍历；非正式地，如果使用朝向额外的“链接”紫色节点的边缘，则无法遍历黄色节点。 $3k$ $b \in V$ $k$

以类似的方式变换in度2和out度1的V的每个原始节点

选择足够大的，且仅当原始图具有哈密顿路径（长度）时，结果图的长度才大于）。 $k \gg |V|$ $G'$ $3k(|V|-1)$ $G$ $|V|-1$

在此处输入图片说明

较大的图片可以在这里下载

— Vor
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这是一个非常漂亮的证明，也许您应该将图“ A”中的边缘指向正确位置，以使其更易于理解如何获得路径（尽管我认为我已经理解了）。

— 上市

@Listing：路径的构造不依赖于有向边（实际上我在答案中写了“无向”搜索）。您应该从一个任意节点开始，首先从深度进行扫描，然后将红色遍历的边缘着色，然后回溯到遇到的第一个3度节点，然后从深度开始遍历它的深度优先扫描，以遍历的边缘绿色，依此类推。 ..也许它有一个更正式的定义，但我现在不知道。让我知道您是否需要更多详细信息。

— 涡

我看到，沿“正确”方向遍历边缘的属性由上一次转换强制执行。谢谢你的澄清。

— 上市

受Vor的回答启发，我想给出一个简单的答案。

从网格图问题开始的汉密尔顿循环问题开始，伊泰对此进行了证明。

可以很容易地看出，网格图的边缘集可以分为两个不相交的子集：水平和垂直。

所以现在，我们需要将所有水平的编织到一个简单的循环中，并将所有垂直的编织到另一个简单的循环中。

这是非常容易的任务：对于垂直的，从最左边到最右边扫掠，只需连接任何垂直间隙，然后连接连续的x坐标垂直线，然后将最低的最左顶点与最高的最右顶点连接。对水平边缘进行类似的处理。

注意，所获得的图仍然是简单，无向的并且满足要求。这很简单，因为在垂直阶段和水平阶段的最后一步，我们处理两个不同的顶点对。

$k$ $k$ $2k|V|$

— Thinh D.Nguyen
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