最小顶点覆盖树的贪婪算法的正确性证明

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有一种贪婪算法，用于查找使用DFS遍历的树的最小顶点覆盖。

对于树的每个叶子，选择其父级（即，其父级处于最小顶点覆盖范围内）。
对于每个内部节点：
如果未选择其任何子节点，则选择此节点。

如何证明这种贪婪策略给出了最佳答案？是否没有比上述算法产生的顶点覆盖更小的尺寸？

algorithms trees greedy-algorithms

— e_noether
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我认为第二步的逻辑不正确。如果您考虑一个退化的树，其中有6个节点一直向下下降（将其标记为1至6对应其深度）。然后，算法的第一步将选择节点5。第二步可能将选择第一个节点（根），然后选择第二个节点（子节点）或第三个节点。但是，这是不正确的，因为您只想选择节点2和节点5以获得正确的解决方案。

— miguel.martin

@ miguel.martin如果“顶点覆盖”仅包含编号为2和5的顶点，则不会覆盖节点3和4之间的边。

— Laschet Jain's

Answers:

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我们首先注意以下事项：有一个最佳的盖，没有叶子是。这是真的，因为在任何优化覆盖可以取代所有叶与他们的父母，你会得到一个顶点覆盖，其不大于。 $C$ $C$ $X$ $X$ $X$

$C$ $C$ $C$

— 舒尔茨
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4

$|M| \leq |C|$ $M$ $C$

— Yuval Filmus
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