号码分配

给定 $k$ 数字 $A_1 \leq A_2 \leq ... \leq A_k$ ，使得 $\sum\limits_{i=1}^k A_i = k(2k + 1)$ 就是数字 $i_1, i_2, ... , i_{2k}$ ，它是的排列， $1, 2, ... , 2k$ 使得

$i_1 + i_2 \leq A_1\\ i_3 + i_4 \leq A_2\\ .\\.\\.\\ i_{2k-1} + i_{2k} \leq A_k$

？

我找不到有效的算法，就可以解决这个问题。这似乎是一个组合问题。我找不到类似的NP-Complete问题。这个问题看起来像是已知的NP完全问题，还是可以用多项式算法解决？

np-complete decision-problem

— gprime
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你在这个问题上取得了进展吗？

— Yuval Filmus

我忘了提及

A_{1} \leq A_{2} \leq . . . \leq A_{k}

$A_1 \leq A_2 \leq ... \leq A_k$

— gprime 2013年

相关问题，也没有令人满意的答案。（乍一看可能不清楚它们之间的关系，但是如果，则问题等同于找到的置换，从而。

K = 2 N

$K=2N$

1 \dots 2 N

$1 \ldots 2N$

i_{2 a - 1} - i_{2 a} = A_{i}

$i_{2a-1} - i_{2a} = A_i$

— 彼得·索尔

Answers:

这个问题强烈是NP完成的。

假设所有的都是奇数。然后我们知道，由于为奇数，因此和为偶数，另一个为奇数。我们可以假设是奇数，而是偶数。通过让和，我们可以证明这等效于要求数字两个置换和，使得。 $A_j$ $i_{2j-1} + i_{2j} = A_j$ $i_{2j-1}$ $i_{2j}$ $i_{2j-1}$ $i_{2j}$ $\pi_j = \frac{1}{2}(i_{2j-1}+1)$ $\sigma_j = \frac{1}{2}(i_{2j})$ $\pi$ $\sigma$ $1 \ldots n$ $\pi_j + \sigma_j = \frac{1}{2}(A_j+1)$

已知此问题是NP完全的。请参见此cstheory.se问题以及答案中引用的W. Yu，H。Hoogeveen 和JK Lenstra的论文。

— 彼得·索尔
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这是一个入门的提示：由于从到的所有数字的总和正好是，因此只有在实际上，等等的情况下才有可能解决。。因此，给定我们知道，依此类推。另外，。 $1$ $2k$ $k(2k+1)$ $i_1 + i_2 = A_1$ $i_3 + i_4 = A_2$ $i_1$ $i_2$ $3 \leq A_j \leq 4k-1$

— Yuval Filmus
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那么我应该如何选择呢？我没有看到解决方案。但是感谢属性

i_{1}

$i_1$

3 \leq A_{j} \leq 4 k - 1

$3 \leq A_j \leq 4k -1$

— gprime

如果进行排序，我们知道，，，等等。这些标准以及足够？如果是这样，则可能有一个针对此问题的简单算法。

A_{i}

$A_i$

3 \leq A_{1}

$3 \leq A_1$

10 \leq A_{1} + A_{2}

$10 \leq A_1 + A_2$

21 \leq A_{1} + A_{2} + A_{3}

$21 \leq A_1 + A_2 + A_3$

\sum_{i} A_{i} = k (2 k + 1)

$\sum_i A_i = k(2k+1)$

— 彼得·索尔

是的，它们已排序。我将尝试使用它...

— gprime

@PeterShor您还必须考虑相反方向的限制，例如，依此类推。轶事地看问题，看来一个简单的贪心算法应该在存在时就发现解决方案，而在不存在时就恰好失败，但是我很难证明这一点。

4 n - 1 \geq A_{n}, 8 n - 6 \geq A_{n - 1} + A_{n}

$4n-1 \geq A_n, 8n-6 \geq A_{n-1}+A_{n}$

— 13年

@torquestomp：您提出了一个很好的观点。实际上，来自一个方向的限制也意味着来自另一个方向的限制，但是乍看之下一点都不明显。我看着一个类似的问题，无法找到一个简单的算法（但在我看来，这些标准的模拟确实足够了）。

— 彼得·索尔

这是一个匹配问题，因此可以使用Edmond的算法解决。参见维基百科

— 将
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Stackexchange的想法是尽可能合理地进行问答。您能否将答案扩展为不仅仅是Wikipedia的链接？

— 卢克·马蒂森

你能详细说明吗？我看不到如何使用该算法来解决我的问题。

— gprime

实际上，对我来说，这看起来像是3匹配的特例，它是NP完全的。这并不意味着OP问题是NP完全的。

— 彼得·索尔

可能是两方匹配吗？我将研究3个匹配项，看看是否可以解决。谢谢！

— gprime