如何构造问题之间的约简来证明问题是NP完全的？

我正在上一门复杂的课程，而在减少NPC问题之间却遇到了麻烦。如何找到问题之间的减少点？有没有我可以使用的一般技巧？我应该如何处理一个要求我证明问题是NPC的问题？

— 匿名
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令人失望的是，我认为没有一种方法可以解决所有问题。就像生活中的许多问题一样，每个问题都是独一无二的。希望，随着时间的流逝，您会正确地直觉如何解决每个问题。

— Ran G.

是否有一些有关如何解决此类问题的有用指南？当我看到一个问题要求我证明它是NPC时，我完全迷失了。我应该如何对待他们？

— 2012年

没有神奇的子弹。NP硬度证明很难。但是，所有此类证明都有一个通用框架。谁与NP-硬度证明斗争感到困惑很多学生什么他们应该做的，这显然使得它无法弄清楚如何做到这一点。因此，这里是什么做的，证明一个问题NP难问题。

首先，除非您只是做家庭作业，否则您必须决定将哪个NP难题解决为您的问题。这在很大程度上是“气味”的问题。如果数字3出现问题陈述的任何地方，尝试从降低或或。（是的，我很认真。）如果您的问题涉及寻找最佳子序列或排列或路径，请尝试从或。如果您的问题要求具有特定属性的最小子集，请尝试；如果它要求具有特定属性的最大子集，请尝试 $\mathsf{3SAT}$ $\mathsf{3Color}$ $\mathsf{3Partition}$ $\mathsf{HamiltonianCycle}$ $\mathsf{HamiltonianPath}$ $\mathsf{Clique}$ $\mathsf{IndependentSet}$ 。如果您的问题涉及在飞机上做某事，请尝试或。等等。如果您的问题没有“闻到”的味道，或可能是您最好的选择。 $\mathsf{PlanarCircuitSAT}$ $\mathsf{PlanarTSP}$ $\mathsf{3SAT}$ $\mathsf{CircuitSAT}$

显然，您需要已经精确地 知道了如何定义所有这些问题，并且减少的问题越简单越好。因此，作为清凉的结果可能会在年底，我不建议从减少或或或。 $\mathsf{Minesweeper}$ $\mathsf{Tetris}$ $\mathsf{OneCheckersMove}$ $\mathsf{SuperMarioBros}$

二是实际减少。要将问题X（您知道的一个是NP-hard）简化为问题Y（您要证明的一个是NP-hard），您需要描述一种将X 的任意实例转换为Y的合法实例的算法。约简算法需要对X实例的每个“特征”执行特定的操作；每个“特征”的输出部分通常称为小工具。

但是功能是什么？这取决于问题X。例如：

要转换的实例，您需要为输入变量中的每个变量和每个子句提供一个小工具。每个可变小工具应具有对应于“真”和“假”的两个“状态”。每个子句小工具还应具有多个“状态”，每个状态都会以某种方式强制该子句中的至少一个文字为真。（状态不是归约算法输出的一部分。） $\mathsf{3SAT}$
要转换的实例，您需要为输入图的每个顶点和每个边分别配备一个小工具，并需要一个小工具来定义这三种颜色。 $\mathsf{3Color}$
变换的一个实例，则需要为每个输入小工具，每根电线，以及用于在所述输入电路中的每个栅极。 $\mathsf{PlanarCircuitSat}$

小工具的实际形式取决于问题Y，即您要简化为的问题。例如，如果您要解决关于图形的问题，则您的小工具将是小的子图；请参阅Wikipedia文章。如果您要解决有关调度的问题，则每个小工具将是一组要调度的作业。如果您要解决有关Mario的问题，则每个小工具都是一组积木，砖块和Koopas。

如果两个问题都涉及同一种对象，这可能会造成混淆。例如，如果X和Y都是关于图的问题，则您的算法将要将一个图（X的实例）转换为另一个图（Y的实例）。明智地选择您的表示法，以免混淆这两个图形。我也强烈建议您使用多种颜色的墨水。

最后，您的约简算法必须满足三个属性：

它以多项式时间运行。（这通常很容易。）
如果给您的归约算法输入X 的正实例作为输入，它将产生Y 的正实例作为输出。
如果您的归约算法产生了一个Y 的正实例作为输出，则必须给它一个X 的正实例作为输入。

这里有一个重要的微妙之处。您还原算法只能在一个方向，从 X的实例来的Y实例，但证明该算法正确，需要大约两个方向上的转变推理。您还必须记住，归约算法无法确定X的给定实例是正数还是负数，这将需要在多项式时间内解决NP难题。

那就是。该如何随实践而来。

— 杰夫
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对于从

还原（通常是具有相似的“局部/全局结构”的问题），最好首先尝试对

单子句实例执行此操作。这样可以使您了解需要为子句使用哪些小工具。在找到了子句的小工具之后，您的归约操作将为每个子句放置一个这些小工具，然后以某种方式强制执行全局条件（即，出现在不同子句中的变量的出现的真值应一致，命题变量

不能是

在一个子句和

3 S A T

$3SAT$

3 S A T

$3SAT$

p

$p$

t r u e

$true$

在另一个）。

f a l s e

$false$

— 卡韦

关于“如果简化算法将Y 的正例作为输出，则必须给定X作为正例作为输入”：尽管将这种情况写为“如果对简化算法给出了负例似乎更为直观” X作为输入，它会产生Y作为输出的负实例”，请注意，这两个条件是等价的，并且JeffE编写它的方式通常使构造证明变得容易得多，因为在每种情况下，您都有“某些东西”（ X的正实例或Y的正实例）。

— j_random_hacker

JeffE概述了最常见的策略：知道许多NP完全问题，找到一个非常合适的问题并进行轻松归纳。

另一个有效的策略是始终使用3SAT（或其他任何问题）。这可能会使某些简化变得更加复杂，但是好处是您有很多经验可以表达其他类型问题的可满足性。因此，您可以节省寻找一个好的减价伙伴（包括死胡同）的时间，并希望您的经验将使您能够更快地进行减价，即使难度更大。

这种方法也具有一些元的美：（3）SAT是（几乎）直接证明NP完整性的少数问题之一。因此，仅依靠该证明可以使您的“证明树”保持平坦，避免冗长的归约链。

— 拉斐尔
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当一元给定边界时，直接证明有界停止问题是NP-完全的不是太难，并且是容易地证明存在某些 NP-完全问题的简便方法，即使该问题本身也无济于事。

— 亚历克斯十布林克

我不确定这是唯一直接被证明是NP完全问题的说法。实际上，如果严格地解释它，那肯定是错误的。库克在1971年的论文中谈到TAUT不是SAT（他使用库克归约法，而不是Karp归约法）（很容易观察到，证明也证明在Karp归约法下SAT是NP完全的）。

— 卡夫

@Kaveh Huh？重言式是Co-Np完整的，因此未知是NP（-complete）。我没看过库克的论文。

— 艾伯特·亨德里克斯

@Albert，那么您应该阅读它。使用Cook归约法，您无法区分NP和coNP。

— 卡夫