用最少的移动来装满垃圾箱难道难道不是NP？

有 $n$ 垃圾箱和 $m$ 种球。在 $i$ 个箱具有标签 $a_{i,j}$ 为 $1\leq j\leq m$ ，它的类型的滚珠的预期数量 $j$ 。

您从类型 $b_j$ 球开始。每个类型球的重量为，并希望将球放入箱中，使得箱重量为。保持先前条件成立的球的分布称为可行解。 $j$ $j$ $w_j$ $i$ $c_i$

考虑一个可行的解决方案，其中 $x_{i,j}$ bin 的类型为 $j$ 球，则成本为。我们希望找到一种最低成本的可行解决方案。 $i$ $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m |a_{i,j}-x_{i,j}|$

如果对 $\{w_j\}$ 没有限制，那么这个问题显然是NP问题。子集和问题简化为可行解的存在。

但是，如果我们加上一条， $w_j$ 分歧 $w_{j+1}$ 为每个 $j$ ，然后将子集和减少不再起作用，所以目前还不清楚是否造成问题仍然存在NP难题。检查是否存在可行解仅需 $O(n\,m)$ 时间（附在问题末尾），但这不能为我们提供最低成本的可行解决方案。

该问题具有等效的整数程序公式。给定 $a_{i,j},c_i,b_j,w_j$ 为 $1\leq i\leq n,1\leq j\leq m$ ：

\begin{aligned} Minimize: & \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} | a_{i, j} - x_{i, j} | \\ subject to: & \sum_{j = 1}^{m} x_{i, j} w_{j} = c_{i} for all 1 \leq i \leq n \\ \sum_{i = 1}^{n} x_{i, j} \leq b_{j} for all 1 \leq j \leq m \\ x_{i, j} \geq 0 for all 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m \end{aligned}

$\begin{align*} \text{Minimize:} & \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m |a_{i,j}-x_{i,j}| \\ \text{subject to:} & \sum_{j=1}^m x_{i,j}w_j = c_i \text{ for all } 1\leq i\leq n\\ & \sum_{i=1}^n x_{i,j} \leq b_j \text{ for all } 1\leq j \leq m\\ & x_{i,j}\geq 0 \text{ for all } 1 \leq i\leq n, 1\leq j \leq m\\ \end{align*}$

我的问题是

当 $w_j$ 对所有都除以 $w_{j+1}$ 时，上述整数程序是NP-hard 吗？ $j$

确定 $O(n\,m)$ 时间：

$w_{m+1}=w_m(\max_{j} c_j + 1)$ $d_j = w_{j+1}/w_j$ $a\%b$ $a$ $b$

如果存在一个这不是整除，回归“没有可行的解决方案。” （不变划分将总是在下面的循环被保持） $c_i$ $w_1$ $c_i$ $w_j$
对于从到： $j$ $1$ $m$
1. $k \gets \sum_{i=1}^n (c_i/w_j)\%d_j$ 。（需要的最小重量为的球） $w_j$
2. 如果，则返回“无可行解”。 $b_j<k$
3. $c_i \gets c_i - ((c_i/w_j)\% d_j)$ 所有。（删除重量为的最小所需球数） $i$ $w_j$
4. $b_{j+1} \gets \lfloor (b_j-k)/d_j \rfloor$ 。（将较小的球分组为较大的球）
返回“有可行的解决方案”。

特殊情况下的多项式时间解，其中，并且是 s的幂 $n=1$ $w_j$ $2$

已知如果且所有均为幂，则可以在多项式时间内求解该特殊情况。 $n=1$ $w_j$ $2$

\begin{aligned} Minimize: & \sum_{j = 1}^{m} | a_{j} - x_{j} | \\ subject to: & \sum_{j = 1}^{m} w_{j} x_{j} = c \\ 0 \leq x_{j} \leq b_{j} for all 1 \leq j \leq m \end{aligned}

$\begin{align*} \text{Minimize:} & \sum_{j=1}^m |a_j-x_j| \\ \text{subject to:} & \sum_{j=1}^m w_j x_j = c\\ & 0 \leq x_j \leq b_j \text{ for all } 1\leq j \leq m\\ \end{align*}$

解决方案由顾渝州提出，并在这里可以找到文章。

complexity-theory np-hard integer-programming

— 徐超
source

一些背景。 上面的问题是有限制的背包问题。可以在伪多项式时间内（仍然是NP-Hard）解决带或不带限制的最有效的背包问题解决方案。有关某些变体，请参见 https://en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem#Definition。此变体中的第一个限制是放置在背包（箱）中的物品（球）的值无关紧要。然后，问题仅限于将物品放入背包的时间。最初的问题要求将最有价值的物品放置在尽可能短的时间内。此版本的另一个限制是权重和所有其他参数均为整数。感兴趣的限制是权重 $w_j$ 将除以所有。注意：分数背包问题可以在多项式时间内解决，但不能为原始问题提供最实用的解决方案。此问题使用均分的整数（无理性解）。也许看到背包问题有什么大不了的？。 $w_{j+1}$ $j$

主要问题可能应该是“当与对应的多项式限制时，这个问题是否仍然是NP-Hard ，因为问题在有界时不那么复杂（在P中）？我之所以说是因为问题可以被示出为P中时为界和NP-硬时不一定划分 $w_j$ $i$ $w_j$ $w_j$ $w_{j+1}$ 均匀地（权重只是随机的），所有限制将这个问题的复杂性限制在这两个条件下。这些条件（1.没有项目值限制的随机权重背包问题和2.没有项目值限制的可分权重背包问题）在降低复杂度方面相互抵消，因为权重的商本身可能是随机的（尤其是在无界时），因此需要进行指数时间计算（将在下面的示例中显示）。另外，由于除以，对于每个，的大小指数增长 $w_j$ $w_{j+1}$ $w_j$ $j$ 。这是因为，代替使用随机加权的项（单位重量可能都限于100或50甚至10以下的单位重量的球），该限制导致时间复杂度取决于的位数，与试用部门，这是指数级的。 $w_j$

因此，是的，即使对所有都除以，上述整数程序仍然保持NP-hard的。 $w_j$ $w_{j+1}$ $j$ 这很容易观察到。

例1：设，为2的幂。由于常数2，如您的示例所示，整个问题在二次时间内得到了解决。权重不是随机的，因此可以有效地解决计算问题。 $n = 1$ $w_p$

示例2：将定义为，其中是与对应的质数，这样。这是适用的，因为将除以所有。我们得到每个是直到的所有素数的乘积。单位权重的值增加，因为这样的：。既然有限制的（〜 $w_{j+1}$ $w_j * p$ $p$ $j$ $p=2, j=1: p=3, j=2, p=5, j=3, p=7, j=4,...,P, J$ $w_j$ $w_{j+1}$ $j$ $w_j$ $j$ $1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, ...$ $p_j$ $j log (j)$ ，通过质数定理），因为商都是质数，我们得到了NP-Intermediate的复杂度。

示例3：让定义为，其中是从2到无穷大的随机选择质数，对应于。这适用于此问题，因为将除以所有。我们得到前5个商（从2随机降到无穷），分别为。我们看到即使在第5球，重量也有11位数字。幸运的是，第五商是2，而不是或更大的质数。 $w_{j+1}$ $w_j * R_p$ $R_p$ $j$ $w_j$ $w_{j+1}$ $j$ $101, 2657, 7, 3169, 2$ $10^{100}$

上面的示例三是当不被对应于的多项式限制（随机权重）时发生的情况。时间复杂度是指数，NP-Hard。从某些角度来看，只需将所有权重加起来，看看它们是否合适。但是，没有比通过尝试每个子集查看其权重大得多的方法来使权重可整，从而显着更快地解决它。经过几十个球之后，您仍进入了数万亿个子集或数万亿个数字的领域。 $w_j$ $i$

— 杰夫
source

但是素数分解被认为不是NP难的。它被认为是NP级的。

— rus9384 '17

我在这里看不到减少。实际减少了多少？接受素数分解的输入，然后使用整数程序的解以某种方式输出分解。

— 徐超

您是说“上面的整数程序是NP难的”吗？单个程序不能是NP-hard。

— Yuval Filmus

实际上，素数分解在。因此，如果，则是。

N P \cap c o N P

$\mathsf{NP\cap coNP}$

N P

$\mathsf{NP}$

N P = c o N P

$\mathsf{NP=coNP}$

— rus9384

不幸的是，其他编辑并没有清除它。实际减少会有所帮助。

— 徐超