建构主义逻辑中是否存在不确定的语言？

建构主义逻辑是一个排除公理的排除中间定律和双重否定的系统。它在Wikipedia的此处和此处进行了描述。特别是，该系统不允许矛盾证明。

我想知道，是否有人熟悉这如何影响有关Turing Machines和形式语言的结果？我注意到，几乎所有关于语言不确定性的证明都依赖于矛盾证明。对角化论证和归约概念都以这种方式工作。会否存在一种不确定语言存在的“建设性”证据？如果是，那它将是什么样？

编辑：很清楚，我对建构主义逻辑中的矛盾证明的理解是错误的，答案已经澄清了这一点。

是。您不需要排除的中间派生矛盾。特别是，对角化仍然有效。

这是Conor McBride提出的典型对角化论点。这种特殊的对角化是关于不完备性，而不是不确定性，但是想法是相同的。需要注意的重要一点是，他得出的矛盾不是“ P而不是P”的形式，而是“ x = x + 1”的形式。

当然，现在您可能想知道构造逻辑是否承认“ x = x + 1”是矛盾的。是的 矛盾的主要属性是任何东西都来自矛盾，并且使用“ x = x + 1”，对于任何两个自然数，我的确可以建设性地证明“ x = y”。

关于建设性证明可能有所不同的一件事是定义“不确定”的方式。按照古典逻辑，每种语言都必须是可决定的或不可决定的。因此，“不确定”仅表示“不确定”。但是，在构造逻辑中，“ not”不是原始逻辑运算，因此我们无法以这种方式表示不确定性。相反，我们说一种语言是不可决定的，如果假设它可决定会导致矛盾。

实际上，即使“非”不是构成逻辑中的原始形式，我们也通常将“非P”定义为“ P可用于构建矛盾”的句法糖，因此，通过矛盾进行证明实际上是唯一的方法。建设性地证明“不是P”形式的陈述，例如“语言L不确定”。

在建设性地讨论经典陈述的可证明性时，我们如何制定它们通常很重要。经典等效公式不必在构造上等效。同样重要的是，您所用的构造证明确切意味着什么，有各种各样的构造主义学派。

例如，声明那些不可计算的总函数在那些以丘奇-图灵命题（即每个函数都是可计算的）为公理的建设性数学中是不正确的。

另一方面，如果小心，可以将其表述为可证明的：对于总可计算函数的任何可计算枚举，都将存在不在该枚举中的总可计算函数。

您可能会发现Andrej Bauer的这篇文章很有趣。

ps：我们还可以从类别理论的角度来看对角化。看到

• 弗朗西斯·威廉·劳维尔（Francis William Lawvere），“ 对角论点和笛卡尔封闭类别 ”，1969年

我认为基数证明仍然成立，表明存在非可计算语言的语言（因此绝对不确定）。

立即证明是非常简单的，它只是观察到图灵机是用某种有限的字母编码的（可能也是二进制的），因此有不计其数的东西，并且所有语言在固定字母上的集合（可能又是二进制的） ）是该字母表中字符串集合的所有子集的集合-即可数集合的幂集，并且必须是不可数的。因此，图灵机的数量少于语言的数量，因此某些东西不可计算。

在我看来，这足够具有建设性（尽管从物理上讲是不可能的，但是它为您提供了一种指向某些语言集的方法，并且知道一种语言是不可计算的）。

然后我们可能会问，是否有可能证明可数和不可数集合具有不同的基数，尤其是避免对角化。我认为这仍然是可能的。康托尔的原始论点似乎也具有建设性。

当然，这确实需要由对建构主义逻辑了解更多的人来检查。

我认为我同意其他人的观点，即对角化论点是有建设性的，尽管据我所知，在某些圈子中对此存在一些分歧。

我的意思是，假设我们正在查看所有可确定语言的集合。我可以使用对角线化来构造不确定的语言。值得注意的是，尽管历史上我认为这些都是相关的弧度，但我根本不认为“建构主义”和“ finitism”是同一回事。

首先，我认为每个人（甚至是建构主义者）都同意，一组可决定的语言是可数的。由于这套图灵机是可数的（我们可以使用有限的字符串对所有有效的TM进行编码），因此很容易遵循这一协议。

$L_1, L_2, ..., L_k, ...$

1. 考虑字符串 $0^i$。
2. $0^i \in L_i$$0^i$。
3. $0^i \notin L_i$$0^i$

$n$$L_1, L_2, ..., L_n$

因此，从技术上讲，我们构建了一种“无法决定”的语言；建构主义者是否会认为“不应决定”不应与“不确定”相混淆是一个有趣的问题，但我没有能力回答。

为了澄清，我认为这说明了以下内容：我们可以建设性地证明存在图灵机未决定的语言。在特定的框架内，如何选择解释这一点是一个难题。