如何定义量子图灵机？

在量子计算中，图灵机的等效模型是什么？这是很清楚，我怎么量子电路可以构造出量子门，但如何定义一个量子图灵机（QTM），实际上可以从量子效应中受益，即进行高维系统？

^{（注意：全面的描述有点复杂，并且有一些我想忽略的细微之处。以下仅仅是QTM模型的高级构想。）}

在定义量子图灵机（QTM）时，人们希望有一个简单的模型，类似于经典的TM（即有限状态机加无限磁带），但是允许新模型具有量子力学的优势。

与经典模型类似，QTM具有：

1. q $Q=\{q_0,q_1,..\}$ -有限的一组状态。令为初始状态。$q_0$
2. Γ = { γ 0，。。$\Sigma=\{\sigma_0,\sigma_1,...\}$， -输入/工作字母集$\Gamma=\{\gamma_0,..\}$
3. 无限的磁带和一个“头”。

但是，在定义跃迁函数时，应该记住，任何量子计算都必须是可逆的。回想一下，TM 的配置是元组表示TM处于状态，磁带包含，并且头指向图的第个像元录影带。q ∈ Q Ť ∈ Γ *$C=(q,T,i)$$q\in Q$$T\in \Gamma^*$$i$

由于磁带在任何给定时间仅包含有限数量的非空白单元，因此我们将QTM的（量子）状态定义为由配置空间生成的希尔伯特空间的单位矢量。特定配置表示为状态_{（备注：因此，磁带中的每个单元格都是维希尔伯特空间。）}$\mathcal{H}$$Q\times\Sigma^*\times \mathrm{Z}$$C=(q,T,i)$

$$|C\rangle = |q\rangle |T\rangle |i\rangle.$$ _$\Gamma$

QTM初始化为状态，其中中的是输入并置根据需要有许多“空白”（确定最大长度有些微妙，但我忽略了它）。$|\psi(0)\rangle = |q_0\rangle |T_0\rangle |1\rangle$$T_0\in \Gamma^*$$x\in\Sigma^*$

在每个时间步长处，QTM的状态根据某个统一的| ψ （i + 1 ）⟩ = U | ψ （i ）$U$

$$|\psi(i+1)\rangle = U|\psi(i)\rangle$$

注意，在任何时候的状态都由。可以是仅在磁头所在位置“更改”磁带并将磁头向右或向左移动一个单位的任何单元。也就是说，是零，除非和不同于仅在位置。| ψ （n ）⟩ = U n | ψ （0 ）⟩ ü ⟨ q '，Ť '，我' | U | q ，Ť ，我⟩ 我' = 我± 1 Ť ' Ť $n$$|\psi(n)\rangle = U^n|\psi(0)\rangle$$U$$\langle q',T',i'|U|q,T,i\rangle$$i'= i \pm 1$$T'$$T$$i$

在计算结束时（当QTM达到状态），将对磁带进行测量（例如，使用计算基础）。$q_f$

值得注意的是，QTM状态的每个“步骤”都是可能配置的叠加，这为QTM提供了“量子”优势。

---

答案基于小泽正雄（Masanao Ozawa）的“量子图灵机的停机问题”。另请参阅David Deutsch，《量子理论》，《丘奇图灵原理》和《通用量子计算机》。

如注释所示，定义QTM的方法是将转换函数定义为状态和字母的统一变换。因此，在每个步骤中，您都将想象（状态，字母）向量乘以一个转换，以获得一个新的（状态，字母）。它不是特别方便，但是可以定义。