什么是简并多边形？

什么是简并多边形？如何检查给定的一对多边形是否退化？

如果多边形的某些顶点相互重叠，则它会退化。例如三角形（0,0），（0,1），（0,0）退化。它具有3个边和3个顶点，但其中两个顶点重复。可以重复多次顶点（例如（0,0），（0,0），（0,0）是另一个退化三角形）。根据定义，检查多边形是否退化是很容易的。

但是退化多边形的用途是什么？图形加速（3D绘图）的一种应用如下：

在3D绘图中，GPU通常使用三角剖分来渲染图像。使用三角形的（简单）原因是因为它们是最简单的2D对象，因此不需要太多硬件。

如果要绘制复杂的3D图像，则受此GPU限制，我们必须将其分解为多个三角形。但是，如果我们调用GPU分别渲染每个三角形，那将会非常慢（由于调用次数）。因此，三角带用于减少对GPU的调用次数。可以在Microsoft文档：三角带中找到关于三角带的很好的解释，您也可以查看以下网站的维基：三角带。

但是，当我们要在一条带中绘制两个单独的对象时，就会出现问题。在这种情况下，退化三角形会有所帮助。GPU可以检测退化的三角形并跳过其绘制。因此，我们可以将两个单独的条带与一个退化三角形相连。

通常，如果我们有不同的组件，例如已经有它们对应的三角带，则可以通过一次调用GPU来全部绘制它们。这会导致额外的内存使用，但这是在调用GPU进行渲染的次数与使用额外的退化三角形的开销之间的权衡。$n$

退化的多边形是具有零面积的多边形。

正如其他人指出的，这取决于。一般来说，如果多边形没有异常点，则该多边形不会退化，但这只会使问题退后一步。什么是“异常”？

真正的答案是，如果违反规范，则多边形会退化。粗略的回答是，如果多边形是算法无法处理的边缘情况，则该多边形会退化。

这是来自GIS世界的示例。该OGC简单要素规范有什么让一个多边形“有效”一个非常仔细的定义。引用第6.1.11.1节：

多边形的断言（定义有效多边形的规则）如下：

a）多边形在拓扑上是封闭的；

b）多边形的边界由组成其外部和内部边界的一组LinearRing组成；

c）边界交叉处的两个环和多边形边界中的环都不能在一个点处相交，而只能以切线相交，例如 ;

$$\begin{align*} & \forall P \in \hbox{Polygon}, \forall c_1, c_2 \in \hbox{P.Boundary}, c_1 \ne c_2,\\ & \forall p, q \in \hbox{Point},\,p,q \in c_1, p \ne q,\\ & \left[ p \in c_2 \right] \Rightarrow \left[ \exists \delta > 0 | \left[\left|p-q\right|<\delta\right]\ \Rightarrow \left[ q \not\in c_2 \right] \right] \end{align*}$$

注意：这最后一个条件表示在两条曲线共同的点上，附近的点不能共同。这迫使每个共同点成为相切点。

d）多边形可能没有切割线，尖峰或穿孔，例如：；$\forall P \in \hbox{Polygon}, P = \hbox{P.Interior.Closure}$

e）每个多边形的内部是一个连接点集；

f）没有连接具有1个或更多孔的多边形的外部。每个孔都定义了外部的连接组件。

在以上声明中，内部，闭合和外部具有标准的拓扑定义。（a）和（c）的组合使多边形成为常规的封闭点集。